超K-代數(shù)上的模糊正則商結(jié)構(gòu)

李小光，辛小龍

（1.西安航空學(xué)院 基礎(chǔ)部，陜西 西安 710077；2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)系，陜西 西安 710069）

1966 年，Y.I mai和 K.I S E K I[1]，首先，研究 BCK-代數(shù)，將集合倫的概念一般化，隨后，BCK-代數(shù)理論被廣泛研究，得到很多結(jié)論。R.A.Borzooei將超結(jié)構(gòu)應(yīng)用到BCK-代數(shù)中，定義了超K-代數(shù)給上了一些相關(guān)性質(zhì)。文獻[3]給出超K-代數(shù)正則同余的定義。在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建了商超K-代數(shù)，研究了一些性質(zhì)和其商結(jié)構(gòu)。

1 基本概念及常用性質(zhì)

定義1.1[2]設(shè)非空集合H上有二元運算“·”及常元O，如果?x，y，z∈H，有

（NK1） （x·z）·（y·z）＜x·y

（NK2） （x·y）·z=（x·z）·y

（NK3） x＜x

（NK4） x＜y 且 y＜x?x=y

（NK5） O＜x

則稱H是關(guān)于二元運算“·”及常元0為一個超K-代數(shù)。這里，x＜y?0∈x·y，對每一個 A，B?H，A＜B??a∈A，?b∈B滿足a＜b。因此，稱“<”是H中的一種超序關(guān)系。

性質(zhì) 1.1 在超 K-代數(shù) H 中，?x，y，z∈H，A，B，C?H 有

1）O∈O·x；

2）x·y

3）x∈x·o；

4）A·B

定義1.2[4]設(shè)I是超K-代數(shù)H的非空子集，O∈I，?x，y∈H 滿足若 x·y＜I，y∈I則 x∈I則稱 I是 H 的超 K-理想。

定義 1.3[3]設(shè)非空子集合 H上有二元運算“θ”及 A，B?H。則

2 模糊關(guān)系

引理2.1[4]設(shè)在非空子集H上具有2元模糊關(guān)系R，?t∈[0，1]， 則有上確界，R是非空集合H上的二元模糊關(guān)系，則下列條件等價：

1）R是H上的模糊等價關(guān)系；

2）?t∈[0，1]，非空集合 Rt是 H 上的等價關(guān)系；

3）?t∈[0，1]，非空集合 RT＞是 H 上的等價關(guān)系。

定義2.1[4]，?a，b，c∈H設(shè)R是H上的二元模糊關(guān)系，

顯然，每一個模糊強左（右）相容關(guān)系是一個模糊左（右）相容關(guān)系，反之不成立。

定理2.1[4]設(shè)是上的二元模糊關(guān)系，R有上確界，下面的結(jié)論是等價的:

1）R是模糊左（右）相容的；

2）?t∈[0，1]，非空集合 Rt是左（右）相容的；

3）?t∈[0，1]，非空集合 Rt＞是左（右）相容的。

定理2.2[4]設(shè)R是H上的二元模糊關(guān)系，R有上確界，則下列的性質(zhì)是等價的：

1）R是模糊強左（右）相容的；

2）?t∈[0，1]，非空集合 Rt是強左（右）相容的；

3）?t∈[0，1]，非空集合 Rt＞是強左（右）相容的；

定義2.2：設(shè)R是H上的二元模糊關(guān)系?a，b，c∈H，

定義2.3[4]若R是H上的模糊（強）同余關(guān)系，則R也是模糊（強）相容等價關(guān)系。

定理2.3[4]若R是H上的二元模糊關(guān)系，則R是模糊（強）同余關(guān)系等價于R是（強）左、右模糊相容等價關(guān)系

推論2.1[4]若R是H上的二元模糊關(guān)系，R有上確界。則1）R是模糊同余關(guān)系?非空水平子集Rt是左右相容等價關(guān)系。

2）R是模糊強同余關(guān)系?非空水平集Rt是H上的強左、右相容等價關(guān)系。

令R是H上的模糊二元關(guān)系，?x∈H，?y∈H，構(gòu)造H上的模糊子集 u，滿足 ux（y）=R（y，x）成立。

引理2.2[4]令R是H上的二元模糊關(guān)系，則

2）?t∈[0，1]，非空集合 Rt=ut。

3 商結(jié)構(gòu)

引理3.1[10-12]設(shè)R是H上的二元模糊關(guān)系，R有上確界，那么R是模糊正則的??t∈[0，1]，非容水平子集Rt是正則的。

證明：?x，y∈H，t∈[0，1]， 若 R 是 H 的二元模糊正則關(guān)系，x·yRt{0}，y·xRt{0}成立，則?a∈x·y，b∈y·x 滿足 aRto，bRto，即 R（a，o），R（b，o）≥t，故≥t有即xRty， 故 Rt是 正 則 的 ， 反 之 ?x，y∈H， 假 設(shè) min則由于 R 有上確界，存在 a∈x·y，b∈y·x，

oo滿足 R（a，o）≥t，同理 R（b，o）≥t，因此 aoRto，boRto 成立，故x·yRt{0}，y·xRt{0}成立，由于 Rt是正則的，則 xRty 成立，且因此，R是模糊正則的。

令（H，·，0）是超K-代數(shù)，R是H上的二元模糊正則同余關(guān)系在 H/u 上定義一個二元超運算對于超序關(guān)系，“＜”，滿足 ux＜uy?x＜y。

定理3.1 令（H，·，0）是一個超 K-代數(shù)，R是H上的二元模糊正則同余關(guān)系，那么（H/u，◇，u）是一個超K-代數(shù)

證明：令 ux=ux′，uy=uy′，則ρ（y，y′）。 令則 xρx′，yρy′，由于 ρ是 H

ttt上的同余關(guān)系。有則令uz∈ux·uy則?z′∈x·y，有 uz=uz′。 由于存在有成立ρ（z′，w），故 ρ（z′，w）=t。 由于 ρ是二元模糊等價關(guān)系，對于

反之，對于?y∈H，

uw（u）=ρ（u，w）=ρ（w，u）≥min（ρ（w，z′），ρ（z′，u））

≥min（ρ（z′，w），ρ（z′，u））=min（t，ρ（z′，u））

=ρ（z′，u）=ρ（u，z′）=uz′（u）=uz（u）

因此，uz（u）=uw（u），對于?u∈H，有 uz=uw。 由于 w∈x′·y′，uz=uw∈ux′·uy′，ux·uy≤ux′·uy′。 同理，ux′·uy′≤ux·uy，故 ux·uy=ux′·uy′。

下面證明超K－代數(shù)的每一個條件。

（NK1）令 ux，uy，uz，uv∈H/u，由于（x·z）·（y·z）＜x·y，那么存在 a∈（x·z）·（y·z），b∈x·y，則 a＜b，即 ua＜ub。 但是 a∈（x·z）·（y·z），則 a∈u·v，又因為 u∈x·z，v∈y·z，因此 ua∈uu◇uv?（ux◇uz）◇（uy◇uz）。

（NK2）令 uu∈（ux◇uy）◇uz，存在 v∈（x·y）·z，則 uu=uv。又因為（x·y）·z=（x·z）·y，則 v∈（x·z）·y，uu=uv∈（ux◇uz）◇uy。故（ux◇uy）◇uz?（ux◇uz）◇uy。 同理，（ux◇uz）◇uy?（ux◇uy）◇uz。因此（ux◇xy）◇uz=（ux◇uz）◇uy。

（NK3）顯然成立

（NK4）令 ux，uy∈H/u，ux＜uy，uy＜ux，則 u∈ux◇uy，即 存 在z∈x·y，w∈y·x，得到 uz=u=uz。 由引理 2，R（z，0）=

由于R是模糊正則的，可知

（NK5）顯然成立

定理3.2如果（H，·，0）是超K－代數(shù)，R是H上的模糊正則強同余關(guān)系，則（H/u，◇，u）是 BCK－代數(shù)。

證明：令 ux，uy∈H/u，由于 R 是模糊強同余關(guān)系，令?a，推出

因此，由引理 2 可知，ua=ub，即|ux◇uy|=1。

4 結(jié)束語

文中介紹了超K－代數(shù)正則同余的定義，同時構(gòu)建了商超K－代數(shù)，研究了一些性質(zhì)和其商結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，還可以繼續(xù)研究超K－代數(shù)正則同余關(guān)系的代數(shù)結(jié)構(gòu)，此篇文章對以后的研究給了一個基礎(chǔ)性的工作。

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