太陽核聚變概率計算及太陽目前結構和狀態的推測

李學潛

(南開大學物理科學學院 天津 300071)

張邦固

(科學出版社 北京 100717)

1 引言

圖1是太陽剛形成時的結構．其中，氫占約75%，氦占約23%，其他占約2%[1～3]．氫核會發生聚變，生成氘；進而，生成氚；生成氦3；生成氦4…… 以氫核數-時間函數為基礎，我們計算了時至今日太陽中所消耗的氫、生成的氘、氚、氦3等，得到了太陽目前的大致結構．

圖1 恒星初期結構

人們認為，恒星主序期中發生的是氫聚變成氘、氚、氦3、氦4的反應．

那么，具體情況是怎么樣的呢？氫經過中間過程，最后都變成氦4？氘、氚、氦3一旦產生就會很快聚變而全都被消耗？聚變概率多么大？有沒有剩余？ 剩多少？ ……定量地回答這些問題的關鍵是氫核數-時間函數．

我們知道，恒星核聚變是粒子靠量子力學隧道效應穿過電勢壘來實現的[4]．然而， 能夠實際應用的隧道效應概率的理論計算很困難．

本文依觀測資料計算了太陽氫核聚變的概率．

由于聚變，氫核數會逐漸減少．本文推出了氫核數-時間函數，并進而給出太陽目前的結構及狀態．

2 觀測值

2.1 太陽溫度

(1)平衡輻射

我們知道，平衡輻射的能量密度U(單位時間、單位面積所輻射的能量)與溫度T的四次方成正比[1]

U=σT4

(1)

它就是斯特潘-玻爾茲曼(Stefan-Boltzmann)定律．其中常量為[1]

(2)

其中的π是圓周率，k是玻爾茲曼常量，c是光速，h是普朗克常量，其數值是

σ=5.670×10-8Wm- 2K- 4

(3)

(2)太陽常數

在地球大氣層外與太陽光垂直的平面單位面積上單位時間所接收的能量叫太陽常數[5]．其數值是每平方米約1 400 W[6]．

將其乘以面積，我們可以得到太陽輻射的總功率．它叫做太陽光度．其數值為[4]

L=3.826×1026W=2.388 16×1039MeV/s

(4)

(3)表層溫度

太陽光是從太陽表面輻射出來的．由太陽半徑[4]

R=6.9599×108m

(5)

以及式(1)和(4)，我們可以得到太陽表層溫度

(6)

2.2 太陽每秒發生聚合反應的次數

初期，太陽中發生的聚變基本上是質子-質子反應

p+p=D+e++ν+0.9 MeV

(7)

接著，上述反應所產生的正電子會與周圍許多電子中的一個湮沒

e++e=2γ+1.02 MeV

(8)

所釋放的能量為1.92 MeV[7]．

根據觀測，人們發現，在恒星光度和它的質量之間有一定的關系：質光關系[3]．質量大的恒星光度大，質量小光度小．質量相同的恒星光度相同．

太陽質量會隨著輻射而逐漸減少．我們來估計一下．輻射最大的量是，在主序期太陽中的氫全部聚變成了氦．由氦的結合能[8]，我們可以知道，氫的質量會減少大約0.7%．整個太陽質量會減少0.52%．目前，太陽的主序期過了大約一半．這樣，太陽質量最多減少約0.26%．據目前的觀測，太陽的輻射只有上述最大量的約十分之一．所以，太陽由輻射所可能減少的質量估計約為0.1%．這是假設太陽最初是以目前量的十倍輻射得到的結果．據質光關系和質量變化，太陽最初的輻射量只可能比目前的大千分之幾．這樣，太陽質量由于輻射所減少的量就會更少．

太陽輻射總功率[式(4)]應該是變化不大的．它應該是

(9)

次聚變(每秒)所釋放出來的．

2.3 一個質子發生碰撞的頻率

我們假定太陽是分層熱平衡的．溫度取T當作平均來做初次計算．于是，質子的速度應該是

(10)

其中，k是玻爾茲曼常量，m是質子質量．

原子核半徑公式是[9]

(11)

其中，A是原子核質量數．一個質子每秒掃過的體積為

V2= πr12v

(12)

平均質量密度ρ除以質子質量，得到質子數密度ρn． 于是，一個質子每秒碰撞次數為

n=πr12vρn

(13)

2.4 質子-質子聚變概率

將初始參與聚變的氫核數Np0與式(13)相乘再除以2，可以得到質子-質子(每秒)碰撞總數，再去除式(9)，我們便得到質子-質子聚變概率

(14)

3 氫核數函數

質子-質子聚變不斷發生．太陽中參與聚變的氫核數不斷減少．t時刻Np個氫核在dt時間內減少

(15)

上式右邊第一個2的右面是dt時間內發生的聚變數，而一次聚變消耗2個氫核．積分，有

Np=Np0exp( -nηt)

(16)

我們把溫度、密度和聚變概率都當成了常量．這里，我們做了平均．這是初步．

4 太陽目前的結構

4.1 太陽初期氫核數

由太陽中約75%氫質量和質子質量，我們得到

(17)

4.2 嘗試

因為氫區其他部分并不釋放能量，它們也不可能吸收并儲存能量，長達數十億年之久．所以，太陽表面釋放的能量就是反應區表面所釋放的能量．用上面得到表面溫度的方法，可以得到聚變層的溫度是11 540 K．

結論：這個嘗試不符合實際．

注意：(1)這里聚變集中在核心區表面．范圍相對小，溫度、密度、聚變概率等變化不大，以其平均值作為常數所進行的式(16)的推導不會有太大的問題．

(2)式(16)右邊僅時間和參與核總數可以討論．

4.3 太陽氫區縮小

式(17)就應該是Np0．或者說，我們先假設之，下面會檢驗．

經過46億年，太陽目前有氫核(質子)數

Np=8.982 0×1056exp(-2.38816×1039×

4.6×109×3.15×107/0.96×8.982 0×1056)=

8.982 0×1056exp( - 0.401 31) = 6.009 86×1056

(18)

我們看到，目前太陽氫的總量由于氫-氫聚變已經消耗了約三分之一．

4.4 氘聚變

(1)氘-氫聚變

一次質子-質子聚變產生一個氘核．由式(18)，太陽共產生

1.441 07×1056

(19)

個氘核．氘產生以后逐漸沉到氫區底部．它也會聚變消耗．氘的消耗也是與氘的總數成正比[式(15)]的．氘是邊生成邊積累邊消耗的．我們假設，氘消耗比例只有氫的一半．減去這個期間消耗掉的，目前氫區底部還有

1.202 65×1056

(20)

個氘核在氘區(見圖2)，氘核消耗有3個方向：向上與氫聚變；氘-氘聚變；向下與氚、氦3、氦4聚變．我們假設：這3個方向的概率相同．這樣，氘核的四分之一會參與和氫核的聚變.

氘核與氫核聚變主要是

p+D=T+e++ν+5.0 MeV

(21)

p+D=3He+5.5 MeV

(22)

接著，正電子會湮沒，釋放1.02 MeV能量．

(2)氘-氘聚變

氘-氘聚變的主要方式是[6]

D+D=3He+n+3.27 MeV

(23)

D+D=T+p+4.3 MeV

(24)

接著，上面產生的中子會被質子吸收

p+n=D+2.225 MeV

(25)

因為質子對中子的吸收截面是氘核的640倍，是氦3的一萬多倍．若式(23)和(24)是等概率的．那么，兩個氘-氘聚變消耗3個氘，釋放9.795 MeV的能量．

4.5 氚聚變

氫-氘聚變和氘-氘聚變都生成氚和氦3．氚和氦3生成之后會逐漸沉到氘區的底部．

由式(19)和(20)，太陽到目前共生成

(26)

個氚和氦3．扣除消耗，還有

0.099 486×1056

(27)

個．它們的四分之一會參與和上面的氘聚變

D+T=4He+n+18.6 MeV

(28)

D+3He=4He+p+18.4 MeV

(29)

這里，上面產生的中子會被質子吸收還會生成氘．

我們假定，氚、氦3各占一半．它們還會與下面的氦4聚變

T +4He =7Li + 2.9 MeV

(30)

3He+4He=7Be+1.5 MeV

(31)

7Be + e =7Li+ν+1.47 MeV

(32)

當它們自身的量積累到一定程度(例如：目前的量[式(27)])，還會發生

T + T =6He + 12.2MeV

(33)

3He+3He =4He+p+p+13.1 MeV

(34)

T +3He =6Li + 15.8 MeV

(35)

式(27)表明，氚、氦3的粒子數比氫的小兩個數量級，比氘的小一個數量級．

4.6 太陽結構

根據上面計算，我們對太陽目前的狀態可以有一個比較細致的描述．

圖2 太陽目前結構示意圖

由式(18)，氫已經消耗了大約33.09%．由式(20)，總質量的約20.08%是氘．由式(27)，有約

2.5%的氚和氦3．

上圖示意了太陽目前結構．其中心是鋰以上元素；外是氦4、氚和氦3、氘；最外是氫．

5 檢驗

(1)總輻射

到目前，太陽輻射的全部能量為

W=Lt=2.388 16×1039MeV/s×4.6×109×

3.15×107s= 3.460 4×1056MeV

(36)

(2)氫-氫聚變輻射

由式(18)，目前已經消耗

(8.892-6.00986)×1056=2.882 14×1056

(37)

個氫．它們釋放的能量是

2.766 85×1056MeV

(38)

(3)氘-氘聚變輻射

由式(19)和(20)，到目前已經消耗

0.23842×1056

(39)

個氘．其中二分之一發生氘-氘聚變．假設式(23)和(24)的兩個反應概率是相同的．它們釋放的能量是

0.29189×1056MeV

(40)

(4)氫-氘聚變輻射

氘[式(39)]的四分之一與氫聚變．假設式(21)和(22)兩個反應概率是相同的．它們釋放的能量是

0.34273×1056MeV

(41)

(5)氚-氘聚變

假設，氚和氦3是等量的．由式(26)和(27)，已經消耗了

(42)

個氚．其中，四分之一與氘聚變[式(28)]．釋放的能量是

0.045858×1056MeV

(43)

(6)氚-氚聚變

氚[式(42)]的二分之一發生氚-氚聚變．釋放的能量是

0.03008×1056MeV

(44)

我們看到，由上面5項有

3.477 41 MeV

(45)

與總輻射只差千分之五．其他的有氦參與的聚變概率會小得多．原因是，電勢壘高了許多．

6 建議

本文的基本假設是，太陽中所有氫核都參與了聚變．檢驗基本通過表明，它大致是符合實際的．由此看出，以太陽為代表的恒星中核聚變有如下特點.

(1)溫度相對低．

太陽表面溫度只有約六千度．還有兩三千度的恒星．

(2)概率非常低．

針對這些，作者建議，在地球上實驗新形式的聚變裝置．不再追求高溫．注重提高碰撞次數．建議采用對撞方式．

7 結論

(1)本文得到了太陽中參與聚變氫核數隨時間變化的函數式(16)．

(2)上面得到了類太陽恒星條件下的質子-質子聚變概率式(14)．

(3)恒星主序期光度的主要貢獻來自質子-質子聚變這個基礎反應．

(4)本文得到了太陽目前比較細致的結構，并且，基本通過了檢驗．

(5)本文的主導思路是，由微觀出發探索恒星的物理實際．

(6)上面的第6個大問題“建議”很重要．

8 討論

(1)實際上，溫度應該是由外向內逐漸增加的．密度也是這樣．聚變概率也是．本文用平均來做，只是初步的．進一步的細致工作以后做．

(2)式(16)的氫核消耗沒有計及氘-氫聚變所消耗的氫核．由式(19)和(17)可以計算出，到目前氘-氫反應所消耗的氫核是氫-氫反應的約2.5%．

(3)上面的聚變中各反應道的分支比與實驗可能不同．這會給計算結果帶來偏差．

(4)氫區逐漸縮小．這給式(16)的應用時間帶來問題．長時間運用它會帶來偏差．我們在下一篇文章中討論這個問題．

(5)檢驗中，計算結果與實際相差很小．這里有各種偏差互相抵消的可能．但是，還是可以說，本文的主題基本通過了實際的檢驗．

(6)這里有許多值得進一步探討的問題．

9 感謝

本文于2012年12月4日下午4時在南開大學物理學院報告，與會的教師和理論物理專業的研究生提出了許多有益的建議，作者進行了相應的修改，并對劉玉斌院長和其他與會者表示感謝.

參考文獻

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