散射長度周期變化下三勢阱中玻色-愛因斯坦凝聚體的穩定性和隧穿特性研究

穆愛霞

(平涼醫學高等專科學校 甘肅 平涼 744000)

1 引言

在玻色-愛因斯坦凝聚體實驗以來，研究凝聚體在周期空間勢阱中的行為是一個很重要的方向．雙勢阱相對來說是周期勢阱中最簡單的構形，在雙勢阱中描述內具體的最低價的近似是兩模模型．通常，在線性情況下，通過調節周期場的調制參數可以控制體系的隧穿動力學[1～2]．Salmond等考慮在周期勢阱中的兩模近似下，沿x方向的周期性調制作用的效果就會使在雙勢阱的兩個固定點附近振蕩的晶格頻率以及隧穿頻率都變得與時間有關[3]．文獻[4]討論周期調制對非線性自囚禁的影響，把調制加在體系中兩阱的最低能量差上，其強度為A，頻率為ω，即y=Asinωt，用數值分析的方法研究軌道的整體性質．文獻[5]主要考慮玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)體的約瑟夫森結處于隨時間變化勢阱中的行為，在考慮熱力學原子云與凝聚體的相互作用下，數值模擬了約瑟夫森結的動力學行為．Abdullaev和Kraenkel使用Melnikov方法討論了隨時間變化的隧穿系數K對系統Josephson效應的影響，給出了系統出現混沌的條件[6]．近來，運用Feshbach共振技術，s-波散射長度可也以調節成周期變化[6]．考慮到兩體和三體相互作用都與s-波散射有關，三體系數也將呈周期變化．

在這里，我們討論對稱三勢阱中散射長度周期變化時系統的特性，通過三模近似來處理含三體項的GP方程，以此為基礎來分析定態解的穩定性．

2 散射長度周期變化下的三模近似

在考慮與時間有關的原子散射長度時，三勢阱中弱耦合的BECs系統可以由方程(1)來支配．在這種情況下，g，ξ都是與時間有關的．通過Feshbach共振技術，我們可以使得原子散射長度成為時間的周期函數

A(τ)=A0+A1cosωτ

三勢阱中有三體復合耗散及填充項存在時的GP方程被修改為如下形式

i??tΨ(r,t)=

iξ′Ψ(r,t)4+iγΨ(r,t)

(1)

(2)

為了考查玻色-愛因斯坦在三勢阱慮不周中的動力學特性，我們采用三模近似的方法來尋找方程(2)的解

Ψ1(τ)Φ1+Ψ2(τ)Φ2+Ψ3(τ)Φ3

(3)

利用正交關系

(4)

其中i，j= 1,2,3，所以將方程(3)代入式(2)，并利用式(4)積分后得到下面三個非線性方程

i?τΨ1=

(E1-U1Ψ12)Ψ1-K12Ψ2-

(5)

i?τΨ2=

(E2-U2Ψ22)Ψ2-K12Ψ1-

(6)

i?τΨ3=

(E3-U3Ψ32)Ψ3-K13Ψ1-

(7)

其中

設

(8)

其中i=1,2,3，Ni(τ)是第i阱中的粒子數，θi(τ)是Ψi態的相，歸一化的條件是N1+N2+N3=N,N是具有相同單位的三體凝聚體的粒子數．由以上條件，現將方程(8)代入方程(5)～(7)，其中Φ1=θ2-θ1,Φ2=θ3-θ1．為了了解三勢阱中三體玻色-愛因斯坦凝聚體相互作用的新現象，我們僅考慮理想情況，即完全對稱的情況．所以，令

U1=U2=U3=U

E1=E2=E3

阱1和阱2之間的粒子數差和阱2，3之間的相同，即

N1-N2=N3-N2

且忽略1，3阱之間的作用，考慮第一、二阱之間的隧穿率等于第二、三阱之間的隧穿率

Φ1=Φ2=Φ

K12=K23=K

則上面的方程變為

(9)

(10)

(11)

3 散射長度周期變化下的數值結果

3.1 三勢阱中總粒子數隨時間的變化

原子散射長度成為時間的周期函數

A(τ)=A0+A1cosωτ

圖1 初始條件為N(0)=3,Z(0)=1,A1=0.12,Φ(0)=0,ω=2×192π，不同A0值所對應所的N隨時間的變化

圖1中，自上而下的曲線所對應的A0值依次為0.02，0.12，1，1.5．從圖1可得知，對于同一A0值，N隨時間增大，最終趨于一個定值．對于不同的A0值，隨A0值的增大，N在趨于定值時越來越小．例如，A0=0.02時，N=129.6．而當A0=1.5時，N=1.9．我們發現，隨A0值不斷增大，即原子間相互作用增強，三體復合損失與a4成正比，這樣，總粒子數N會不斷減少．

3.2 散射長度周期變化下的隧穿特性

考慮與時間有關的原子散射長度A(τ)=A0+A1cosωτ時，三勢阱中的弱耦合BECs可以用公式(5)～(7)來表示．

在圖2(a)中，A0=2.5，原子布居數Z在零附近振蕩，其幅值不斷減小，最終到達一個負常數值，系統最終進入了自俘獲態．圖2(b)中，A0=1，原子布居數Z在零附近振蕩，系統最終做周期運動．圖2(c)中，取A0=0.12，原子布居數Z在零附近振蕩，其幅值不斷增大，最終Z到達一個負數值范圍內，則系統依然進入了自俘獲態．

圖2 初始條件N0=3,Z0=1,Φ(0)=0,A1=0.12,ω=2×192π時，不同A0值所對應的原子布居數Z隨時間的變化．

本篇中我們研究了散射長度周期調制時對稱三勢阱中三體弱耦合BECs的隧穿特性．研究表明這個體系的隧穿動力學和自俘獲可以被周期變化的散射長度有效地調節．關于這部分內容，更細致的研究今后將繼續展開．

參考文獻

1 J.M.Gomez Llorente and J.Plata.Tunneling control in a two-level system.Phys.Rev.A,1992,45:R6954

2 B.-Y.Ou,X.-G.Zhao,J.Liu,S.-G.Chen Phys.Lett.A,Nonlinear tunneling and chaos between two Bose-Einstein condensates trapped in time-dependent potential,291:17～21

3 G.L.Salmond,C.A.Holmes,and G.J.Milburn.A,Dynamics of a strongly driven two-component Bose-Einstein condensate.Phys.Rev.2002,65:033623

4 Guan-Fang Wang,Li-Bin Fu,Jie Liu.Periodic Modulation Effect on Self-Trapping of Two weakly coupled Bose-Einstein Condensates.Phys.Rev.A.,2006,73:013619

5 Yu-Fei Xiao,Deng-Long Wang,Feng-Jiao Wang,Xiao-Hong Yan.Acta Phys.Sin,Dynamic properties of an asymmetric josephson junction in Bose-Einstein condensates,2006,55:0547

6 F.Kh.Abdullaev,R.A.Kraenkel.,Macroscopic quantum tunneling and resonances in coupled Bose-Einstein condensates with oscillating atomic scattering length.Phys.Rev.A,2001,71:033603