非慣性參考系下的慣性力應用

黃開智 陳宏

(姜堰二中 江蘇 泰州 225500)

1 引言

高中階段，對于牛頓第二定律的應用一般是在慣性參考系中進行的，其實伽利略早在牛頓定律問世之前，就已經通過觀察和實驗論證了在力學規律面前任何慣性參考系都是平等的結論．如此，在運用牛頓運動定律時，選擇慣性參考系似乎就成了“必然”．但一味選擇慣性系來分析問題，有時會顯得單薄，且分析過程繁瑣不堪，甚至是無法求解．面對這種尷尬境況，如果把參考系從慣性系變為非慣性系，出現的困境將會得到迎刃而解．非慣性系一般分為直線加速參考系和轉動參考系，本文主要介紹了直線加速參考系下慣性力的應用．

2 非慣性系下的慣性力的引入

若選擇的參考系相對于慣性系運動，對于固定在該參考系中的直角坐標系的原點做變速直線運動，且各個坐標軸的方向保持不變，該參考系就稱之為直線加速參考系，為非慣性系．

如圖1所示，剛開始，小車靜止，置于車內光滑水平面上的小球保持靜止狀態．此時，若小車相對于地面以加速度a向右做加速直線運動，從地面上觀察，小球水平方向不受外力作用，故相對地面始終保持靜止狀態．若選擇小車為參考系，則小球以加速度-a向左做加速運動，此時可以假設有一力F*作用于小球，其方向與小車相對于地面加速度的方向相反，其大小等于小球質量m與加速度a的乘積，即F*=-ma，該力稱之為慣性力．因此，在非慣性系下，仍然可以沿用牛頓第二定律的形式，小球的加速度-a是由于慣性力F*作用于小球而產生的．它不同于相互作用力，首先，慣性力不是物體真實所受到的力，慣性力沒有反作用力；其次，相互作用力無論是在慣性系還是非慣性系，都能夠觀測到，而慣性力只存在于非慣性系中．

圖1

3 非慣性系下質點動力學方程的不變性

定義相對于非慣性系運動的質點A的運動稱之為相對運動，相對于地面(慣性系)的運動稱之為絕對運動，在非慣性參考系中的直角坐標系O′相對于固定于地面的直角坐標系O的運動稱之為牽連運動．如圖2所示，可得到質點A相對于地面的位置矢量

r=r′+rO′

(1)

圖2

按照經典力學的時空觀，時間在O和O′具有同時性，因此上式兩邊同時對時間t求二階導數，可得

a絕=a相+a

(2)

上式中分別表示質點的絕對加速度，相對加速度和牽連加速度，質點對于慣性系O有∑Fi=ma絕，代入式(2)則有∑Fi-ma=ma相，其中-ma表示質點在O′系中所受到的慣性力F*，于是

∑Fi+F*=ma相

(3)

上式表明，在直線加速的非慣性系中，質點的質量與相對加速度的乘積等于作用于該質點的相互作用力和慣性力的合力，從形式上看，保持了質點在慣性系中的動力學方程特點[1]．

4 慣性力的應用

【例1】升降機A內有一裝置，如圖3(a)所示，懸掛的兩物體的質量各為m1，m2且m1>m2．若不計繩及滑輪質量，不計軸承處的摩擦，繩不可伸長，求當升降機以加速度a向下運動時，兩物體的加速度分別是多少？繩子的拉力是多少？

圖3

解析:該題要求解兩物體的加速度，如果選擇的參考系是地面，則對兩物體而言，分別運用牛頓第二定律時，發現各自的加速度無法求解，此時運用式(2)的加速度運算關系才能求解；但如果一開始選擇的參考系是升降機(非慣性系)，則對兩物體運用在直線非慣性系的動力學方程式(3)，則可輕易解出輕繩的拉力和各自的加速度．下面運用這兩種方法，分別求解．

4.1 在慣性系下的求解

選擇地面為參考系，則對m1，m2而言，其受力情況如圖3(b)所示，設各自的加速度為a1，a2，向下為正方向，運用牛頓運動定律可得

(4)

設物體相對于升降機的加速度為a相，運用式(2)加速度關系式，則有

(5)

聯立(4)、(5)方程組，得到兩物體的加速度、相對于升降機的加速度和繩子的拉力為

(6)

4.2 在非慣性系下的求解

選擇升降機為參考系，則對m1，m2而言，除了受重力和拉力之外還受到向上的慣性力，其受力情況如圖3(b)所示，設各自的加速度為a1，a2，向下為正方向，非慣性系下的質點動力學方程式(3)可得

(7)

通過上式可以立即求得繩子的拉力相對于升降機的加速度為

(8)

接下來利用式(2)，求得物體的加速度

(9)

討論：對比該題在慣性系下和非慣性系下的求解過程，不難發現在慣性系下分析時，容易出錯，并且不好理解，但在非慣性系下，加上慣性力之后，保證了質點的動力學方程形式不變的前提下，更容易理解，比在慣性系下解題的思維要簡單，且容易接受．

4.3 非慣性系下的求解示例

圖4

【例2】如圖4(a)所示，傾角為θ，質量為M的直角三棱柱放置在光滑的水平面上，現將一質量為m的光滑小物塊放置于斜面上，求小滑塊在下滑過程中，滑塊和三棱柱的加速度大小？

解析:該題要求解兩物體的加速度，同理，如果選擇的參考系是地面，則對小物塊而言，一方向相對于斜面做加速運動，另一方面斜面也在做加速運動，很難分析出其加速度的大小，因此該題選擇斜面為參考系，此時小物塊在斜面方向做加速運動，垂直斜面方向保持相對靜止，則可以列出在非慣性系下的

動力學方程．

選擇三棱柱為參考系，設t時刻物塊相對于斜面的加速度為a相，相對于地面的加速度為am，三棱柱的加速度為aM，小物塊和三棱柱的受力分析如圖4(b)所示，于是可以得到小物塊的動力學方程

(10)

解得

(11)

對于小物塊而言，其加速度am=a相+aM，于是最終得到物塊的加速度大小為

(12)

5 小結

在非慣性系中分析問題，有其獨特的優勢，可以簡化分析問題的思路，優化解題步驟，但必須要正確處理慣性力，要抓住研究對象相對非慣性系的運動情況，在引入慣性力之后，正確列出動力學方程是關鍵．

參考文獻

1 漆安慎，杜嬋英.普通物理學教程.北京：高等教育出版社，2005.85～86