奇數項數據的最佳逐差間隔數與誤差分析

許湘苗

(江門市第一中學 廣東 江門 529080)

逐差法常用于處理等間隔數據和滿足線性方程的數據，其是將測量得到的數據按自變量的大小順序排列后平分為前后兩組, 先求出兩組中對應項的差值(即求逐差) , 然后取其平均值．如果測量數據為N=2l-1項時，一般要先剔除中間數據，再進行分組，方可確保誤差達到最小．然而此理論卻缺乏相關的數學分析和理論上的闡述．因此，本文試圖在分析逐差間隔n對計算結果誤差大小以及數據利用程度的影響，從而驗證剔除中間數據的必要性．

1 逐差間隔數n越大絕對誤差δa越小

假設測定9項實驗數據s1，s2，…，s9，即N=9,

l=5，若取逐差間隔n=3，則可分為6組，分別為s4-s1，s5-s2，s6-s3，s7-s4，s8-s5，s9-s6；若取n=6，則可分為s7-s1，s8-s2，s9-s3．隨著逐差間隔數n取值的變化，數據的分組也隨之變化．從以上例子可總結出，當測定N項數據，逐差項為n，組數g=N-n．那么當取何值時，能盡量減少計算誤差呢？下面就來探討這個問題．

等間距的測量N=2l-1項數據，測量值為s，每相鄰數據的間隔為T2，未知數為a．s與a線性關系表示為

s1=v0t+aT2

s2=v0t+2aT2

s3=v0t+3aT2

s4=v0t+4aT2

?

s2l-1=v0t+2l-1aT2

設隔n項逐差，n的區間為1,2l-2中的任意整數，逐差后表達式為

Δsi=si+n-si=naT2i=1,2,3，…，2l-1

共有N-n個Δsi，每個Δsi對應一個a，則每個a可表示為

因此a的平均值為

(1)

a的絕對誤差為

(2)

根據和差的誤差傳遞公式，設s的誤差為δs，則

(3)

在實驗過程中，采用相同的儀器和方法進行測量，因此可認為，所產生的誤差來源于隨機誤差，經過多次測量，其δs趨近一個小量d，則

(4)

聯立式(1)～(4)，得

上式表明，逐差間隔數n的取值區間為1,2l-2中的任意整數，且n越大，誤差δa越小．

假設測得一組N=9,l=5分別為s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7,s8,s9，當逐差間隔數n=3，可分為6組，分別為

由結果發現，在計算的過程中s4，s5，s6因被重復利用兩次而相互抵消．假設選擇逐差間隔數n=5，可分為4組，如下

假設選擇逐差間隔數n=7，如下

以上舉例表明，盡管n的取值越大，絕對誤差δa越小，但是當n大于一定值時，數據未被充分利用．使用逐差法的優勢就是能夠充分地利用每一個數據進行運算，而以上計算結果卻違背了使用初衷．

2 當n=l或n=l-1時數據的利用程度最高

為解決上一小節問題，我們需要計算出最大的nmax，使得數據能被充分利用，且誤差δa足夠?。捎?/p>

(5)

根據逐差法以及代數連加的特點，計算過程中部分數據相互抵消，因此

式(1)可改寫為

(6)

由于n與N-n是等效的，所以當逐差間隔數為n時，將會有2n-N項數據未被利用．其中，2n為偶數，N=2l-1為奇數，因此2n-N的最小整數值為1，求得n=l或n=l-1．因此，n的最大取值為nmax=l．

綜上所述，當nmax=l時滿足充分利用數據以及使得計算結果誤差足夠?。?/p>

3 nmax=l時中間數據恰好被抵消或剔除

從前兩節的結論可見，奇數項數據使用逐差法過程中，為充分利用數據，且使絕對誤差δa達到最小，逐差間隔的取值為nmax=l．下面以一組數據探討一下其內在規律．

假設測得一組N=9,l=5數據分別為s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7,s8,s9，當n分別取1～8時，數據的利用率如表1所示.

表1 隨著n的變化未被利用的數據si

通過表格和計算過程，可見當n=l-1=4或n=l=5時，未被利用的數據只有s5，同時要滿足δa最小，則取nmax=5．以上數據表明，奇數項數據使用逐差法進行計算過程中，為充分利用數據并使誤差達到最小，所剔除的數據恰好為中間數據．

當nmax=l時，將數據從小到大排列，處于中間數據為sl，對式(6)進行展開，得

因此，利用逐差法處理奇數項數據的過程中，在合理的選擇逐差間隔的前提下，剔除中間數據恰能使誤差達到最?。?/p>

4 結論

將奇數項N=2l-1等間隔數據按順序從小到大排列，并采用逐差法處理數據時，其誤差及數據的利用程度與逐差間隔n存在密切相關性．當且僅當nmax=l時，只有2n-N=1項數據未被利用，數據利用程度達到最高且未知數δa的誤差最?。疄闈M足此條件以及逐差法定義，位置處于最中間的數據sl恰好被剔除或抵消．

參考文獻

1 潘小青,陸俊發.大學物理實驗教程.上海:華東理工大學出版社, 2006.2

2 潘小青.逐差法及其應用探討.大學物理實驗，2010,23(2):86～87

4 李建明.對教材中一個公式的討論.物理教學探討，2007,25(289)：37

5 張敬德.逐差法為什么會減小誤差.中學物理教學參考,2009,38(6):16～17

6 潘克宇,杜金潮.逐差法彌補算術平均法處理數據的不足.大學物理實驗，2003,16(1):60～63

7 鐘紀琳.關于運用逐差法處理物理實驗數據時逐差間隔的最佳選取問題.重慶建筑工程學院學報，1989,11(4):91～94