“構造”使參考系變換更簡潔

梅鑫華

(南京師范大學教師教育學院 江蘇 南京 210046)

在運動學中，絕對速度、相對速度和牽連速度是十分重要卻又容易混淆的概念，對于高中生尤其是高一學生，掌握與理解這3個速度具有一定的難度．文獻[1]和文獻[2]，分別介紹了“矢量圖”及“下標標注法”處理相對運動的問題，使問題解決避開了3個速度的具體討論．筆者閱讀后深受啟發，結合自身的教學實踐，也來談談“構造法”處理運動類問題的簡潔性．

“加1減1”是數學解題中常見的技巧，筆者將其引入物理，并稱之為“構造法”．請先看數學兩例．

1數學計算兩例——引出“構造法”

【例1】x2+2x=0配方后得______.

簡解：等式左邊x2+2x要配方，必須加一個1．為使等式保持不變，加1之后要減1．即x2+2x+1-1=0，配方得(x+1)2-1=0，移項后得

(x+1)2=1

簡解：

從以上兩例看出，當我們需要一個數時，可以構造之，但為了保持與原式相等，須同時減去構造的數值．引入到物理運動類題目時，即得“構造法”：當我們需要使某物體具有某速度時，可以構造之，但為了保持與原運動狀態相同，則同時需構造相反的速度．示意圖如圖1，圖中a與c的運動狀態是等效的．通過這樣的構造，可使參考系變換更簡潔，有利于解題．

圖1 構造法示意圖

2 參考系變換一例 ——引出“構造法”的參考系變換

【例3】如圖2所示，小球a以速度v1豎直向下運動，小球b以速度v2水平向右運動，若以球a為參考系，則小球b的運動狀態？

圖2

簡解：本題以a為參考系，先在b球中構造與a相同的速度，同時構造相反的速度．當以a為參考系時，b的運動狀態即為除v1外，剩下速度的合速度v3，如圖3所示．

圖3

使用“構造法”的參考系變換簡潔性，主要體現為：只有矢量加，而無矢量減．這種參考系的變換法具體描述如下：A，B兩物體，當以A為參考系時，先在B中構造A的運動狀態及相反的運動狀態，略去與A相同的運動狀態，剩下運動的合成即為B物體以A為參考系時的運動狀態．事實上，許多相對運動題目，就是選擇參考系的問題．

3 “構造法”的應用實例

【例4】某人以4 m/s的速度勻速向東行走，假設雨以3 m/s的速度相對于地豎直下落．問此人感受到的雨滴的速度大小和方向如何？

解：人感受雨滴的速度，即雨滴以人為參考系時的速度．根據“構造法”參考系變換，先在雨滴中構造出人的速度及反速度，略去與人相同的速度，剩下速度的合速度即為雨滴相對于人的速度，如圖4所示．

圖4

對于一道容易產生負遷移的玻璃切割問題，“構造法”也同樣適用．

【例5】玻璃生產線上，寬4 m的成型玻璃板以6 m/s的速度連續不斷的向前行進，在切割工序中，金剛石刀的走刀速度是10 m/s，為了使割下的玻璃板都成規定尺寸的矩形．問金剛石刀的切割軌道應如何控制？

圖5

對于某些電磁綜合題，用“構造法”恰到好處．

【例6】(2008年高考江蘇卷第14題)在場強為B的水平勻強磁場中，一質量為m，帶正電q的小球在O點靜止釋放，小球的運動曲線如圖5所示．已知此曲線在最低點的曲率半徑為該點到x軸距離的2倍(重力加速度為g)．求 ：

(1)小球運動到任意位置P(x,y)的速率；

(2)小球在運動過程中第一次下降的最大距離ym；

(3)當在上述磁場中加一豎直向上場強為E

圖6

解：第(1)、(3)問略，這里重點解第(2)問．分析可知，由于重力的存在，小球的速度大小是變化的，對應的洛倫茲力也是變化的．倘若構造一個速度v，使洛倫茲力與重力平衡，則由重力導致的速度大小變化就不復存在，但同時需要構造一個相反的速度v′．通過構造，小球的運動情況為：以速度v勻速向右運動；同時以相反的速度v′，在洛倫茲力下做圓周運動．實際運動為勻速運動及圓周運動的合成．顯然，第一次下降的最大距離即為圓周運動直徑

由于構造速度v滿足

qvB=mg

因此

簡評：由以上解法可知，題中即便不給“最低點曲率半徑”的條件，也能求解．此外，這種類型的電磁綜合題，通過“構造法”還可求得其軌跡方程．

此題，勻速運動的位移方程

圓周運動位移方程

合運動的軌跡參數方程即為

4 小結

物理與數學聯系緊密，不僅表現在數學運算上，還表現在解題技巧上．通過“構造法”，可使參考系的變換“只有矢量加，而無矢量減”，在處理相對運動問題時能夠收到很好效果．而在處理某些電磁綜合題時，通過“構造法”，使一部分洛倫茲力與其他恒力相平衡，將復雜的實際運動簡化成勻速直線運動與圓周運動的合成．

參考文獻

1 黃效新.巧用矢量圖速解相對運動問題.物理通報，2010(5):31～32

2 李文勝，孫建美.處理相對運動的一種簡潔方法.物理通報，2011(8):94～95