一個經(jīng)典力學(xué)問題的別解

陳玉奇

(江蘇省姜堰中等專業(yè)學(xué)校 江蘇 泰州 225500)

題目:質(zhì)量為m的鋼板與直立的輕彈簧上端相連接，彈簧下端固定在地上，平衡時彈簧的壓縮量為x0，如圖1所示，一物塊從鋼板正上方距離為3x0的A處自由落下，打在鋼板上并立刻與鋼板一起向下運(yùn)動，但不粘連．它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動，已知物塊的質(zhì)量也為m時，它們恰能回到O點(diǎn)；若物塊的質(zhì)量為2m，仍從A處自由落下，則物塊與鋼板回到O點(diǎn)時，還具有向上的速度，求物塊向上運(yùn)動到達(dá)的最高點(diǎn)與O點(diǎn)的距離．

圖1

1 常規(guī)解法

這是1997年高考全國物理試卷的第25題，本題將動量守恒和機(jī)械能守恒完美地結(jié)合在一起，能夠很好地考查學(xué)生分析問題的能力，常被教師在講授動量守恒和機(jī)械能守恒時作為一道經(jīng)典問題使用，現(xiàn)略解如下.

物塊與鋼板碰撞瞬間的速度由機(jī)械能守恒，可得

(1)

設(shè)v1表示質(zhì)量為m的物塊與鋼板碰撞后一起向下運(yùn)動的初速度，因碰撞時間極短，系統(tǒng)所受的外力遠(yuǎn)小于相互作用的內(nèi)力，符合動量守恒，故有

mv0=2mv1

(2)

設(shè)剛碰撞完時彈簧的彈性勢能為Ep，當(dāng)它們一起運(yùn)動到O點(diǎn)時，彈簧無形變，彈性勢能為零，根據(jù)題意，由機(jī)械能守恒得

(3)

用v2表示質(zhì)量為2m的物塊與鋼板碰撞后一起向下運(yùn)動的初速度，由動量守恒，則有

2mv0=3mv2

(4)

在剛碰撞完的瞬間，彈簧壓縮量仍是x0，故此時彈簧的彈性勢能仍為Ep，當(dāng)它們一起運(yùn)動到O點(diǎn)時，彈性勢能為零，但它們?nèi)岳^續(xù)向上運(yùn)動，設(shè)此時的共同速度為v，則由機(jī)械能守恒定律得

(5)

由式(1)～(5)聯(lián)立求解，可得

當(dāng)質(zhì)量為2m的物塊與鋼板一起回到O點(diǎn)時，彈簧恢復(fù)原狀，彈力為零，物塊與鋼板只受到重力的作用，加速度為g，而一過O點(diǎn)，鋼板受到彈簧向下的拉力作用，加速度大于g，由于物塊與鋼板不粘連，物塊不可能受到鋼板的拉力，其加速度仍為g，方向向下，故在O點(diǎn)物塊與鋼板分離．分離后，物塊以速度v豎直上拋，所以物塊向上運(yùn)動到達(dá)的最高點(diǎn)距離O點(diǎn)的距離

聯(lián)想到這里的物體組是由鋼板、物塊和彈簧組成的彈簧振子，物塊與鋼板碰撞后，在未與鋼板分離前，該彈簧振子做簡諧振動，故也可以用彈簧振子的振動方程求解．

2 別解——振動方程法

建立坐標(biāo)軸，設(shè)O點(diǎn)為坐標(biāo)軸原點(diǎn)，向下為x軸正方向，則該彈簧振子沿x軸運(yùn)動的方程為

x=Acos(ωt+φ0)+C

另外，因坐標(biāo)原點(diǎn)不在振子的平衡位置處，要有待定常數(shù)C．

速度方程為

且

vm=Aω

當(dāng)彈簧振子運(yùn)動到平衡位置時，x=3x0，而振子位移為零，cos(ωt+φ0)=0，得C=3x0，可知振動方程為

x=Acos(ωt+φ0)+3x0

振子在平衡位置處有最大速度vm，根據(jù)機(jī)械能守恒

其中Ep為彈簧剛開始下降時的彈性勢能，且有

故振幅

當(dāng)振子回升到O時，有x=0，

即

Acos(ωt+φ0)+3x0=0

從而有

代入對應(yīng)的速度方程，可得在O點(diǎn)分離時的速度為

負(fù)號表示方向向上．

則物塊與鋼板分離后，上升的最大高度為

當(dāng)然，對于本題，也完全可以求出振子的運(yùn)動方程，只需要計算出其初相位φ0即可．具體求解如下

當(dāng)t=0時

x=x0

Acosφ0=-2x0

從t=0時開始，振子從反方向向平衡位置靠近，cos(ωt+φ0)的值從負(fù)值增大到零，故

φ0=180°+54°45′=234°45′

從振子開始下降時計時，振子的運(yùn)動方程為

3 小結(jié)

(1)分析彈簧類的問題，尤其涉及到彈簧振子的運(yùn)動情況，我們除了可以按照常規(guī)的功能關(guān)系求解，也可以另辟蹊徑，考慮彈簧振子的特殊運(yùn)動形式：簡諧振動，借助于簡諧振動的相關(guān)知識求解．一般情況下，物體與彈簧組成的系統(tǒng)都會出現(xiàn)簡諧振動或阻尼振動的運(yùn)動形式，解題時要對彈簧振子做好受力分析，注意其受力特征符合哪一種振動形式，平衡位置在何處，最大速度、振幅及周期多大等，從而合理地運(yùn)用相關(guān)知識求解．

(2)在本題中，用振動方程求解時，研究的對象是質(zhì)量為2m的物塊與鋼板，并未用到質(zhì)量為m的物塊，由此可見，當(dāng)年高考命題專家給出的“已知物塊的質(zhì)量也為m時，它們恰能回到O點(diǎn)”這個條件是多余的．當(dāng)然也可以證明，只要物塊的質(zhì)量為m，它們一定能夠恰好回到O點(diǎn)．