如何讓切割磁感線的導體棒做勻變速運動

陳懷 潘春芳

(寧波市鄞州區正始中學 浙江 寧波 315131)

1 經典模型

表1 經典模型

思考：如何讓導體棒做勻變速直線運動？

2 模型變式

2.1 變電阻為電容器

圖1

【例1】如圖1所示，兩根豎直放在絕緣地面上的金屬框架寬為L，磁感應強度為B的勻強磁場與框架平面垂直，一質量為m的金屬棒放在框架上，金屬棒接觸良好且無摩擦，框架上方串接一個電容為C的電容器，開始時不帶電，現將金屬棒從離地高為h處無初速釋放，求棒落地的時間t是多少？

點評：此題計算過程中所涉及到的如“充電電流”“平均加速度”等概念，學生可能較為陌生，不好接受，其實還有一些常規的方法也可以讓導體棒做勻變速運動，請看下面.

2.2 變恒力為變力

【例2】如圖2所示，光滑的平行金屬導軌水平放置，電阻不計，導軌間距為l，左側接一阻值為R的電阻．區域cdef內存在垂直軌道平面向下的有界勻強磁場，磁場寬度為s．一質量為m，電阻為r的金屬棒MN置于導軌上，與導軌垂直且接觸良好，受到

F=0.5v+0.4 (N)(v為金屬棒運動速度)的水平力作用，從磁場的左邊界由靜止開始運動，測得電阻兩端的電壓隨時間均勻增大.(已知l=1 m，m=1 kg，R=0.3 Ω，r=0.2 Ω，s=1 m)

(1)分析并說明該金屬棒在磁場中做何種運動；

(2)求磁感應強度B的大小；

圖2

(2)由于導體棒做勻加速直線運動，則

F-F安=ma

展開后得

(3)撤去力還能滑行的位移.令v=0，得

聯立得

t=1 s

點評：在平時訓練中，我們應培養學生審題能力，能在第一時間把最吸引眼球的文字或情景圈出，如這里的“電壓隨時間均勻增大”，從電壓突破得出運動規律，此題是通過施加一個隨安培力同步變化的外力，使得合力保持不變，維持導體棒做勻變速直線運動．

(1)金屬棒與導軌之間的動摩擦因數；

(2)整個過程中金屬棒運動的距離；

(3)從撤去F到金屬棒停止的過程中，每個電阻R上產生的焦耳熱．

圖3

參考答案

(1)μ=0.2 ；

(2)x=2.45 m；

(3)QR=2.75×10-2J．

2.3變化軌道(有效切割長度)

【例3】如圖4所示，兩根不計電阻的金屬導線MN與PQ放在水平面內，MN是直導線，PQ的PQ1段是直導線，Q1Q2段是弧形導線，Q2Q3段是直導線，MN，PQ1，Q2Q3相互平行，M和P間接入一個阻值R=0.25 Ω的電阻．一根質量為1.0 kg，不計電阻的金屬棒AB能在MN和PQ上無摩擦地滑動，金屬棒始終垂直于MN，整個裝置處于磁感應強度B=0.5 T的勻強磁場中，磁場方向豎直向下．金屬棒處于位置(Ⅰ)時，給金屬棒一個向右的速度v1=4 m/s，同時方向水平向右的外力F1=3 N作用在金屬棒上使金屬棒向右做勻減速直線運動，當金屬棒運動到位置(Ⅱ)時，外力方向不變，大小變為F2，金屬棒向右做勻速直線運動，經過時間t=2 s到達位置(Ⅲ)．金屬棒在位置(Ⅰ)時，與MN和Q1Q2相接觸于a，b兩點，a，b的間距L1=1 m，金屬棒在位置(Ⅱ)時，棒與MN，Q1Q2相接觸于c，d兩點．已知s1=7.5 m．求：

圖4

(1)金屬棒在位置(Ⅰ)時安培力的大小和向右勻減速運動時的加速度大小；

(2)從位置(Ⅰ)到位置(Ⅱ)棒與導軌接觸點間距離l隨運動時間t變化的函數表達式；

(3)金屬棒從位置(Ⅰ)運動到位置(Ⅲ)的過程中，電阻R上放出的熱量Q．

(2)位置Ⅰ→位置Ⅱ：勻減速直線運動．

(3)由題意得從位置Ⅰ→位置Ⅲ，安培力不變，則

Q=W克安=F安(s1+s2)=38 J

點評：此情景相對于經典模式的最大亮點是有一段軌道是彎曲的，這也是解題的切入點，有效切割長度隨速度發生變化，使得l2v為一恒量，保持安培力不變，從而維持導體棒做勻變速直線運動．

變式訓練2：如圖5所示，阻值不計的光滑金屬導軌MN和PQ水平放置，其最右端間距d=1 m，左端MP，接有阻值r=4 Ω的電阻，右端NQ與半徑

R=2 m的光滑豎直半圓形絕緣導軌平滑連接；一根阻值不計的長為L=1.2 m，質量m=0.5 kg的金屬桿ab放在導軌的EF處，EF與NQ平行．在平面NQDC的左側空間中存在豎直向下的勻強磁場B，平面NQDC的右側空間中無磁場．現桿ab以初速度v0=12 m/s向右在水平軌道上做勻減速運動，進入半圓形導軌后恰能通過最高位置CD并恰又落到EF位置(g取10 m/s2)，求：

(1) 桿ab剛進入半圓形導軌時，對導軌的壓力；

(2)EF到QN的距離；

(3) 磁感應強度B的大小．

圖5

參考答案：(1)FN=30 N；(2)s=4 m ；(3)B=1.05 T ．

2.4 變化阻值

【例4】如圖6所示，寬度為L=0.5 m的光滑金屬框架MNPQ固定于水平面內，并處在磁感應強度大小B=0.4 T，方向豎直向下的勻強磁場中，框架的電阻非均勻分布．將質量m=0.1 kg，電阻可忽略的金屬棒ab放置在框架上，并與框架接觸良好．以P為坐標原點，PQ方向為x軸正方向建立坐標．金屬棒從x0=1 m處以v0=2 m/s的初速度，沿x軸負方向做a=2 m/s2的勻減速直線運動，運動中金屬棒僅受安培力作用．求：

(1)金屬棒ab運動0.5 m，框架產生的焦耳熱Q；

(2)框架中aNPb部分的電阻R隨金屬棒ab的位置x變化的函數關系；

圖6

解析：(1)金屬棒僅受安培力作用，其大小F=ma=0.2 N，金屬棒運動0.5 m，框架中間產生的焦耳熱等于克服安培力做的功，所以Q=Fs=0.1 J．(也可從能量轉化與守恒角度Q=ΔEk=0.1 J)

所以

變式訓練3：如圖7所示，一直導體棒質量為m，長為l，電阻為r，其兩端放在位于水平面內間距也為l的光滑平行導軌上，并與之密接；棒左側兩導軌之間連接一可控制的負載電阻(圖中未畫出)；導軌置于勻強磁場中，磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于導軌所在平面．開始時，給導體棒一個平行于導軌的初速度v0．在棒的運動速度由v0減小至v1的過程中，通過控制負載電阻的阻值使棒中的電流強度I保持恒定．導體棒一直在磁場中運動．若不計導軌電阻，求此過程中導體棒上感應電動勢的平均值和負載電阻上消耗的平均功率．

圖7

參考答案：

3 小結

“變是為了不變，在變化過程中追尋守恒量”,這是以上幾種變式帶給我們的思考．改變原來習題中的某些條件或求解設問的角度，使之成為一個新的習題，這就是所謂的變題．每年的“高考”試題中都有一些“似曾相識題”，這種“似曾相識題”實際上就是“變題”．它不是機械重復，而是改變條件，改變情景，改變設問，推陳出新．因此，教師應該加強對習題的變式研究，通過原題目延伸出更多具有相關性、相似性的新問題，引導學生從不同途徑和角度尋求解決問題的方法，培養學生解決實際問題的能力和應變能力．