載流圓線圈周圍磁場分布

孟雨

(鄭州大學物理工程學院 河南 鄭州 450001)

圓電流的磁場分布是電磁學中一個重要而典型的問題，不少學者求解此問題時一般采用矢勢方法，而即使采用最為基本的畢奧-薩伐爾定律求解時，求解的結果也是簡化后的磁場在固定平面內的分布，而非整個三維空間內的分布．究其原因，在于積分的復雜性．即使求解磁場在平面內的分布，也涉及復雜的橢圓積分.因此對于磁場在三維空間任意處的分布，更為復雜．本文采用最為基本的畢奧-薩伐爾定律，通過一系列變量替換直接在直角系中給出了磁場分布的級數形式解．并通過數值模擬，形象給出了磁場在空間中的分布情況．

1 載流圓線圈磁感應強度

如圖1所示，空間中一閉合圓線圈，其半徑為R，圓線圈位于平面xOz內．

圖1

不妨假設載流線圈中的電流I如圖1所示的方向．現計算該載流回路在空間任一點P(x,y,z)處產生的磁感應強度．在載流回路上選取任一微元，其與x軸正方向夾角為θ，如上圖所示．易知其位置坐標為(Rcosθ,0,Rsinθ)．則P點到該微元的距離r為

源點到場點的單位方向矢量為

則

(1)

其中

由Rθ=l，得dl=Rdθ，故

(2)

2 積分公式求解

分析式(2)中的積分不難發現，積分的困難就在于分母的復雜性．而分母可以表示為下面的形式

其中

(3)

因此本文就先從最基本的積分形式入手．令

其中，通過分析不難發現，φ∈[-π,2π]，上式可改寫為

(4)

其中

對I0的進一步求解過程如下.

設t=sinψ，則

(5)

(6)

以上兩式相減，考慮到[3]

則

(7)

其中

由此得到等式

其中

故

(9)

對比式(2)中出現的積分，引入參量I1,I2并令

(10)

則由

得到結果

(11)

其中

將式(4)、(10)代入到式(2)中并整理，則得到以下結果

(12)

以上式(12)結果便是求解得到的載流圓線圈周圍任意處空間磁感應強度分布，當然上式還不算是最終結果，因為式中所涉及的不完全橢圓積分的具體形式E(m,α,β)，J還沒有確定，以下便是對其具體形式的求解．

3E(m,α,β)和J的計算

不難發現，當0

(13)

又由于

(14)

因此,原則上E(m,α,β)可求．由于

從而可以確定出

(15)

綜上所述，式(12)已是嚴格意義上的精確解．至此，載流圓線圈周圍任意處空間磁感應強度分布已由式(12)嚴格給出．

4 結果分析

雖然結果已由上文給出，但式(13)、(14)結果依然比較復雜，先對其進一步簡化．考慮到

則由式(13)、(14)，并取冪級數前兩項(第三項已趨于零)，得到

(16)

將相應α,β表達式代入式(8)、(16)，并取冪級首項，易得

M(α,β)=0

(17)

又由式(11)、(15)得

(18)

故最終

(19)

5 數值模擬

綜合式(10)、(12)、(19)，用軟件Matlab進行數值模擬，相關取值如下：μ0=12.566 370 614 4×10-7H·m-1;I=1 A;R=0.2 m.

首先對式(8)中的Bx進行數值模擬，由于目標函數Bx是關于空間變量x，y，z的三元函數，實際模擬時本文采用降維方法：由于圓線圈周圍磁場關于y軸對稱分布，故固定空間變量y，對目標函數進行三維模擬．當y取0.08 m時，磁場Bx分布如圖2所示.

圖2

同樣道理，當y取0.08 m時，磁場By，Bz分布如圖3所示.

圖3

6 結語

對載流圓線圈周圍磁場分布的求解一直都是一個經典問題，一方面在于圓形線圈的簡單性，更重要的在于其方法的推廣性和適用性很強．本文采用最為簡單的方法，精確求解了載流圓線圈周圍磁場分布．通過定性分析易知，By方向磁場關于坐標軸對稱．由模擬結果可以明顯看出，Bx，Bz分布具有相似性，且分布結果對稱分布．由于數值模擬中計算E(m,α,β)時只取了冪級首項，因此結果會有稍許誤差．在誤差可允許的范圍內本文的計算結果還是較為可信的．

參考文獻

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3 王竹溪，郭敬仁.特殊函數概論.北京：北京大學出版社,2000.549

4 張之翔.電磁學中幾個簡單問題里的橢圓積分.大學物理,2002,21(4)