幾何光學與波動光學的“無縫”對接
——透鏡等光程性的教學研究

王勇強 吳明和 鄔劭軼 黃衛英

(電子科技大學物理電子學院 四川 成都 610054)

張宗明

(綿陽中學 四川 綿陽 621000)

姚玲玲

(重慶市高治中學 重慶 404614)

1 引言

中學使用新課標后，中學物理課本中沒有講述薄透鏡物像公式的高斯形式[1]，造成了學生較難理解不同方向的平行光與會聚在焦平面上焦點之間的對應關系，從而不能確定像點位置.而在大學物理教材中通常只對薄凸透鏡的等光程性進行了定性說明，少有定量分析[2].為了將中學講授的凸透鏡成像實驗規律與大學物理中的等光程概念有機結合起來，筆者對薄透鏡物像公式的高斯形式進行了簡單推導，證明了平行光斜入射情形下薄透鏡的等光程性.

2 薄透鏡物像公式高斯形式的簡單推導

我們以凸透鏡成像為例來說明物距u、像距v和焦距f之間的關系.如圖1，設物高為h，像高為h′，由三角形AOB和三角形A′OB′相似，得到

(1)

又由三角形OO′F和三角形FA′B′相似，得到

(2)

式(1)、(2)聯立，得到

(3)

圖1 薄凸透鏡成像示意圖

利用凸透鏡成像的高斯公式(3)討論不同物距下的像的大小，這樣可以讓學生回憶他們初中學過凸透鏡成像的實驗規律.

根據費馬原理，多光線光程應該取極值或者恒定值，但是連續分布的實際光線光程取極大值和極小值是不可能的，所以光程必須相等[3].下面利用幾何光學中的成像公式證明非軸線的物點和像點的多條光線中的兩條光線等光程.

3 平行光斜入射情形下薄透鏡的等光程性

如果物距為無窮遠，但光線和主光軸不平行時，如圖2，光線會聚于焦平面某一點，研究此種情形下的等光程問題.

圖2 平行光斜入射情形下薄透鏡的等光程性示意圖

(4)

AMM′P的光程為

(5)

通過光心的光線BQOQ′光程為

(6)

其中AM光線和主光軸的夾角θ之余弦

(7)

式(5)～(7)都用到了牛頓二項式展開進行簡化.

AMM′P和BQOQ′的光程差為

由公式(3),在u=∞，得到v=f，即與主光軸成夾角的來自無窮遠的光線匯聚于焦平面的P點[4].從波動的觀點看，A，B，C三點同位相，由于薄凸透鏡不附加光程差，過A，B的平行光線通過透鏡到P點光程相等，P點所有光線同相疊加，成明亮的像點.

4 結論

利用三角形相似，得到了凸透鏡的幾何成像公式；利用光程概念，證明了透鏡主軸外物點和像點的等光程性，說明薄凸透鏡不產生附加光程差；在中學教學中的成像實驗規律和成像公式以及大學物理教學中的等光程概念之間建立了有機聯系，實現了大學波動光學和中學幾何光學的“無縫”對接.

參考文獻

1 陳熙謀,吳祖仁.普通高中課程標準試驗教科書:物理(選修加必修).北京：教育科學出版社,2012.3～4

2 郝玉英.薄透鏡的等光程性證明.山西礦業學院學報，1996，14(4)：362～367

3 趙凱華.新概念物理教程:光學.北京:高等教育出版社,2011.38～48

4 姚啟鈞.光學教程.北京:高等教育出版社,1980.194