三體相互作用下三勢阱中玻色-愛因斯坦凝聚體的穩定性研究

穆愛霞

(平涼醫學高等專科學校 甘肅 平涼 744000)

1 引言

自從玻色-愛因斯坦凝聚體在實驗上被觀測，許多研究是關于兩組分或雙耦合BEC(玻色-愛因斯坦凝聚體)的隧穿現象及宏觀量子自俘獲，但很少研究三組分[1～5].在目前的研究中，三囚禁勢阱中的隧穿特性已從理論上得到，多阱中的BEC自俘獲現象也已經從實驗上證明，但是其背后的相關物理實質還未曾知道.因此，要了解多阱中的非線性約瑟夫森振蕩和自俘獲現象是很重要的，最簡單的三囚禁勢阱中的BEC能更多地展示一些有趣的行為且為研究光晶格BEC提供便利[6，7].

對于相互吸引的BEC，凝聚體基態原子數會在塌縮和增長間交替變化，在這個過程中，三體復合起主要作用，塌縮和增長已通過分析GP方程而證明，通過突然改變原子之間相互作用或勢阱，凝聚體易進入長期的混沌振蕩.在本文中，我們討論有三體復合耗散效應時，玻色-愛因斯坦凝聚體在三勢阱中的動力學特性.在三體問題中增加任何量都會增加難度，其結果是有更復雜的非線性，且基本方程中更多參數將會在模型中引入更為豐富的動力學特性和更復雜的結構.我們將結合數值分析的方法，研究三阱中有原子填充項和三體復合耗散時BEC特性，相對粒子數的數值結果展示了自俘獲現象和定態解的穩定性.

2 含三體項的三模近似

(1)

(2)

為了研究玻色-愛因斯坦凝聚體在三勢阱中的動力學特性，我們采用三模近似的方法來尋找方程(2)的解

(3)

假定勢壘足夠高，在隧穿區域，波函數的重疊非常少，即三體玻色-愛因斯坦凝聚體之間為弱耦合時，三模近似得到了很好的應用，弱耦合時空間分布函數Φ1,Φ2,Φ3在各阱中的分布滿足正交關系

(4)

i?τΨ1=(E1-U1|Ψ1|2)Ψ1-

(5)

i?τΨ2=(E2-U2|Ψ2|2)Ψ1-

(6)

i?τΨ3=(E3-U3|Ψ3|2)Ψ3-K13Ψ1-

(7)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

其中Φ1=θ2-θ1,Φ2=θ3-θ1,為了了解三勢阱中玻色-愛因斯坦凝聚體相互作用的新現象，我們考慮理想情況，即完全對稱的情況.所以，令

U1=U2=U3=U

E1=E2=E3

阱1,2之間的粒子數差和阱2,3之間的粒子數差相同，即N1-N2=N3-N2,且忽略1,3阱之間的作用，考慮1,2阱之間的隧穿率等于第2,3阱之間的隧穿率，Φ1=Φ2=Φ，K12=K23=K,則上面的方程變為

(15)

(16)

(17)

作如下變換N1-N2=Z，則式(15)～(17)變為

(18)

(19)

(20)

可以發現方程(18)～(20)不同于兩阱時的情形，在方程中出現了一些耦合項不同于文獻[7]中的方程(16)～(18).因此，三勢阱中中間一個阱對系統的隧穿特性有重要影響，我們期望三勢阱中的隧穿特性能展示與兩勢阱的區別.相應的數值結果將在下部分仔細討論.原子的填充效應γ可被看做是一個線性放大，三體復合ξ同樣很重要，γ,U′等于零，則N是恒定不變的.當考慮三體復合耗散時，N是隨時間變化的，此時,由于γ,ξ兩項的出現，凝聚體會出現新的特性.這組方程是不可積分的，且數值解僅可以通過變分等近似方法得到.下面討論該非線性方程組解的穩定性問題，我們通過改變散射長度來改變γ，從而,由調節γ得到新的特性.

3 系統定態解的穩定性分析

圖1 初始條件為N(0)=29,Z(0)=10,Φ(0)=0,Φ(0)=π時，N,Φ,Z對應的數值解

通過圖1發現，對于A=0.49,Φ(0)=0時，Φ和Z都在很大區域振蕩且最終沒有趨于一個定態解，但是對于A=0.55,Φ(0)=0時，Φ和Z最終都趨于一組定態解(N0=29,Φ0=0,Z0=-19.58),這些數值結果都很好地和表1對應結果一致.因此，表1中對應的A=0.49,Φ(0)=0一組定態解即為不穩定的，而表1中A=0.55,Φ(0)=0對應一組解是穩定的.圖1中當Φ(0)=π時，對于A=0.49,A=0.55，N,Φ,Z最終都趨于定態解,分別為

N0=68.48,Φ0=3.14,Z0=-6.69

和

N0=54.27,Φ0=3.14,Z0=-5.67

這些解同樣與表1給出的解很好地吻合.因此，表1中對應的這些解同樣是穩定的.所以，我們發現初始相位對定態解的穩定性有重要影響.而且經分析發現，在圖1中，當A=0.49,Φ(0)=0時原子布居數Z在Z=-10之間振蕩，從數值上展示了三勢阱間原子的非定態量子隧穿.而當A=0.49,Φ(0)=π時原子布居數Z在最終趨于一定值(Z=-6.69)，數值上展示了在三勢阱中原子布居數Z，可以呈現高度的不對稱分布，好像絕大多數原子被其中的一個阱俘獲，即系統進入了自俘獲態.另外，定態解的穩定性還與參數K,γ,U′,U的改變有關，我們將在以后的研究中，展示更多參數對定態解的穩定性的影響結果.

參考文獻

1 Fritz London. On the Bose-Einstein condensation.Phys.Rev,1938, 54: 947

2 汪志誠. 熱力學統計物理學. 北京：高等教育出版社，1993

3 Wang G F,Fu L B,Zhao H and Liu J. Self-trapping and its periodic modulation of Bose-Einstein condensates in double-well trap. Acta Phys,Sin, 2005, 54: 5003(in Chinese)

4 E.A.Donley etal.Dynamics of collapsing and exploding Bose-Einstein condensate. Nature, 2001, 412(6844): 295～299

5 Y.Kagan,E.L.Surkov,and G.V.Shlyapnikov. Evolution and Gl obal Collapse of trapped Bose-Einstein condensates under Variations of the Scattering Length. Phys.Rev.Lett., 1997,79(14) : 2 604～2 607

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7 Li Y and Hai WH. J.Phys.A:Math.gen., 2005, 38:

4 150～4 114