復合場內斜面上的最佳拋射角

楊月春

(中國石油大學河南濮陽學習中心 河南 濮陽 457001)

王秀娥

(春灣中學 廣東 陽江 529616)

仇小慧 曹錦慧 馬秀君 王萍 韓春霖

(中國石油大學河南濮陽學習中心 河南 濮陽 457001)

1 復合場內沿斜面上升方向順場拋射帶電質點

如圖1所示，空間存在水平向右的勻強電場，有一帶正電的質點自O點沿斜面上升方向以拋射角α(拋射方向與斜面間的夾角)拋出，不計空氣阻力，要使質點落在斜面上距離拋射點最遠的地方，拋射角α應為多大？

圖1

解析：質點拋出后，在重力場和電場組成的復合場內運動，運動軌道曲線與斜面的交點A即為質點的落地點. 圖中OA之長s就是物體沿斜面的射程，使s最大的角度α即為最佳拋射角.

取點O為坐標原點,水平向右方向為x方向，豎直向上方向為y方向，建立直角坐標系xOy.質點沿兩方向的運動方程為

式中a為質點沿水平方向向右的加速度，由電場力的大小決定.將式(1)兩邊乘以g，式(2)兩邊乘以a再相加，求出t，得

(3)

將式(1)兩邊乘以sin(α+θ)，式(2)兩邊乘以cos(α+θ)，再相減，求出t2

(4)

結合式(3)、(4)得

整理該式得

[xsin(α+θ)-ycos(α+θ)]

(5)

式(5)就是質點運動的軌道方程.

直線OA的方程為

y=xtanθ

(6)

點A是質點運動軌道曲線和直線OA的交點，其坐標值可由式(5)、(6)聯立解出

[sin(α+θ)-tanθcos(α+θ)]·

(g+atanθ)-2

[sin(α+θ)-tanθcos(α+θ)]·

(g+atanθ)-2cos-1θ=

(7)

據此得最佳拋射角

(8)

所對應的最大射程為

也就是說，最大射程不僅與v0，θ有關，還與a(同時與δ)有關，亦即與質點所受電場力大小有關，而最佳拋射角僅與θ，δ有關，與v0無關.

討論：

(1)在式(7)中，若取a=0(同時δ=0)，θ≠0，就得無電場時斜面上斜拋物體的射程

(2)在式(7)中，若取a≠0(同時δ≠0)，θ=0，就得有電場時水平面上斜拋物體的射程

(3)在式(7)中，若取a=0(同時δ=0)，θ=0，就得無電場時水平面上斜拋物體的射程

最佳拋射角為45°.

2 復合場內沿斜面上升方向逆場拋射帶電質點

在圖1中，如果空間存在水平向左的勻強電場，即逆場拋射，質點拋出后沿兩方向的運動方程為

用類似的方法求出質點在斜面上的射程

(11)

最佳拋射角

(12)

利用式(11)同樣可以得出3種特殊情況下的射程和最佳拋射角.

3 復合場內沿斜面下降方向順場拋射帶電質點

如圖2所示，空間存在水平向左的勻強電場，將帶正電的質點自點O沿斜面下降方向以拋射角α拋出.

圖2

質點沿兩方向的運動方程為

用類似的方法求出質點運動方程，再結合直線OA的方程

y=-xtanθ

(15)

求出質點在斜面上的射程

(16)

最佳拋射角

(17)

利用式(16)同樣可以得出3種特殊情況下的射程和最佳拋射角.

4 復合場內沿斜面下降方向逆場拋射帶電質點

在圖2中，如果空間存在水平向右的勻強電場，即逆場拋射，質點拋出后沿兩方向的運動方程為

用類似的方法求出質點在斜面上的射程

(20)

最佳拋射角

(21)

利用式(20)同樣可以得出3種特殊情況下的射程和最佳拋射角.

1 楊月春，洪雪芹，戴景生.斜面上任意拋射的最佳拋射角.大學物理，2008,27(5)：12～14

2 楊月春，王秀娥,等.對斜面上最佳拋射問題的進一步研究.物理通報，2012(8)：94～98

3 嚴導淦.物理學.北京:高等教育出版社，2003

4 李椿，夏學江.大學物理.北京:高等教育出版社，1997