牛頓迭代法在物理競賽中的應用

許文龍 戴鳳國

(浙江瑞安中學 浙江 溫州 325200)

2012年全國第29屆物理競賽復賽結束后，一些學生議論說：“其中一道考題雖已列出式子，但卻是一元高次方程，發現無法進行因式分解，實在沒法求解出結果．”物理競賽題不同于普通考試的“湊數題”，題中所給數據往往來自更切合客觀規律的實際觀察或實驗結果，所遵循的數學形式通常是一些高次方程，且無法因式分解．三次方程求根公式已非常復雜了，沒有多少人能記住，而四次及以上，根據阿貝爾定理，沒有一般的由方程的系數經有限次四則運算和開方運算的求根方法．解決這類高次方程只能用數值分析，而牛頓迭代法就是數值分析中最常用的，令人興奮的是牛頓迭代法能在普通計算器中實現求解高次一元方程，而物理競賽恰恰可以使用普通計算器．

1 牛頓迭代法原理

設f(x)在[a，b]上連續，f′(x)也連續，且f′(x)≠0,f″(x)≠0，f(a)f(b)<0，(設f(a)<0，f(b)>0)，過點[a，f(a)]或點[b，f(b)]作曲線的切線，它與x軸的交點為

如圖1所示，其迭代式為

并取初始值

圖1

2 牛頓迭代法應用舉例

第29屆物理競賽復賽試題第2大題第2問，由天體運行規律列出方程

f(x)=x5-x3-583.2x+583.2=0

一階導函數f′(x)=5x4-3x2-583.2，迭代法解此方程步驟如下：

給f(x)一個初值x0，算得

再將x1代入算得

依次算得x1，x2，x3，…直至x穩定在xn這個值，這個穩定的值xn就是方程的一個根.

學生一般使用的是卡西歐計算器(CASIO-fx-82ES)，這種計算器普及率很高，就筆者所在學校幾乎是人手一個．此計算器右下角等號旁邊有一個Ans鍵支持迭代運算，如圖2所示．

圖2

我們所要做的就是給Ans賦初值，并將

輸入計算器．操作步驟如下：

(1)在計算器中輸入初值5，然后按一下“=”鍵，初值就會賦給Ans鍵.

(2)再輸入Ans-(Ans5-Ans3-583.2Ans+583.2)÷(5Ans4-3Ans2-583.2).

(3)輸入完畢，按等號鍵“=”，出現一個值，再按一次“=”，出現的值變了吧．繼續按個3,4次．前幾個值會相差很大，到最后結果會逐漸穩定，直到穩定在4.682 062 186.

迭代中也可以換不同的初值試試，而且不需要再次輸入那一串長式子，CASIO計算器有存儲功能，給Ans換個值，按“向上鍵”調出之前的式子，接著按“=”號就可以了，非常方便．