神奇的導線

勵箭生

(浙江省奉化中學 浙江 寧波 315500)

2011年“北約”(以北京大學為首的11所高校組成自主招生聯盟，簡稱“北約”)自主招生考試物理試題中有這樣一道題目.

題目：兩根長為l，質量為m，電阻為R的金屬棒平行桌邊緣放置，用兩根無電阻的光滑導線將兩棒系在一起，空間中有勻強磁場B，方向與桌邊緣垂直，與水平面夾角為φ，如圖1所示．開始時刻將兩棒由靜止釋放(桌子側面有擋板阻止下面棒有水平偏離)．問理論上棒能達到的最大速度vmax?

圖1

解析：金屬棒達到最大速度vmax時，回路中的感應電動勢大小為

E=Blvmsinφ-Blvmcosφ=

Blvm(sinφ-cosφ)

(1)

回路中的電流

由于v到最大時，棒的加速度為零．由牛頓第二定律，有

F安=mg

mg=BIlsinφ-BIlcosφ

(2)

解得

下面我們就基于以上的解答，對題目中棒的受力和運動情況進行下分析．首先將磁場沿水平和豎直方向分解，運動中ab和cd棒分別切割的是磁場的豎直和水平分量，既然回路中總的感應電動勢大小如式(1)所述，那么一定有sinφ>cosφ，即勻強磁場與水平夾角45°<φ<90°．此時金屬棒中產生的電動勢Eab>Ecd，感應電流和此時兩棒所受的安培力如圖2所示.對ab和cd棒沿導線方向分別列出力平衡方程

化簡后可得

mg=F安1-F安2

即上面的式(2)．

圖2

那么當磁場與水平方向夾角0°<φ<45°，情況又會怎樣呢？由于磁場分量的大小發生了變化，此時金屬棒中產生的電動勢為Ecd>Eab，回路中感應電動勢大小的表達式為

E=Blvmcosφ-Blvmsinφ=

Blvm(cosφ-sinφ)

(3)

則感應電流和兩棒所受的安培力方向均要反向，如圖3所示，要保持ab棒的受力平衡，導線對ab棒作用力T的方向必須向左．同理可得

mg=F安2-F安1

即

mg=BIlcosφ-BIlsinφ

(4)

圖3

但在解題過程中，你是否發現，當磁場方向與水平面夾角φ<45°時，連接兩棒的這根導線又是何等的“神奇”呀！根據題設的條件和我們的分析，它應該具有以下特征：

(1)光滑——光滑是題目的要求，沒有問題，很多地方我們都有類似的處理．

(2)柔軟——整根導線必須足夠的柔軟，才能保證其在桌面轉角處的平滑運動．

(3)能夠對棒提供支撐力，或者說導線在受到壓力時是不會收縮的．就像圖3中導線對棒的作用力那樣，但我們日常生活中的繩子是不會出現圖3中所示情況的．

當然，既然是導線，它還必須具備最基本的導電功能．試想一下，這是怎樣一種“神奇”的材料制成的導線呢？

筆者一時還真想不出我們生活中有這樣的材料．命題者給我們創造了一個巨大的想象空間，筆者的學生在分析到圖3中ab棒的受力情況時就一臉茫然，不知道如何處理．如果因為對此“神奇”材料的不理解而導致解題的失誤，我想，這不會是命題者的本意吧．