用波動方程討論波的干涉問題

王興堂

(江蘇省沛縣中學 江蘇 徐州 221600)

波的干涉是“機械波”一章的重點和難點，同時也是高考的熱點．對于波的干涉，由于教材運用靜態的波形圖加以分析，造成學生對動態的干涉問題理解不準、不深，往往只記住峰峰、谷谷點是加強點，峰谷相遇為減弱點等一些簡單結論；至于波的干涉條件、加強、減弱的真正含義、加強和減弱的根本條件以及一般點的振動情況等問題理解不夠．

本文嘗試用波動方程及相關數學知識對波的干涉進行定量的研究，以期對大家的學習帶來一定的幫助．

設某一波源的振動方程

y=Acos(ωt+ψ)

y=Acos[ω(t-Δt)+ψ]=

介質中不同位置的質點的x取值不同，該方程能夠描述傳播介質中所有質點的振動位移隨時間變化的規律，也稱為波動方程．

為了便于分析，假設兩個波源振動完全相同，且初相為零，兩波源的振動方程均為y=Acosωt，若在兩波源傳播的重疊區域任選一點P，P到兩波源的距離分別為x1,x2,則兩列波在P點引起振動的振動方程分別為

根據波的疊加原理，質點P的振動位移

從表達式形式看，前一項是不變量表示振幅，后一項表明位移按余弦規律變化,說明質點P仍做簡諧振振動．下面利用該式進一步分析如下.

(1)質點P的振幅為

當x1-x2=nλ，n為整數時，振幅最大為2A;

我們把振幅最大的點稱為加強點，振幅最小的點稱為減弱點．由此可知，決定質點振幅大小的是質點到兩波源的距離差．另外，加強點和減弱點構成加強、減弱線，每條線上的點到兩波源的距離差相同，故加強線、減弱線也就是數學上的雙曲線．

需要說明的是:若兩波源的振幅不同，則加強點振幅為A1+A2，減弱點振幅為|A1-A2|；若兩波源振動完全相反，上述加強和減弱的條件剛好相反，比如x1-x2=nλ時，質點將不是加強點而是減弱點．

(3)對于介質中一般質點即非加強和減弱點，其振幅也是一定的，但其值介于最大振幅和最小振幅之間，而且從振動加強點到相鄰的減弱點，質點振動振幅將不斷減小．

(4)為什么只有頻率相同的相干波源才能發生波的干涉呢？對此，我們也可以運用數學知識加以證明，設有兩振幅相同，但頻率不同的波源，其波動方程為

y1=Acosω1ty2=Acosω2t

設P點到兩波源的距離為x1,x2，則兩列波引起的位移分別為

P點位移y=y1+y2，化簡后可得

表達式中兩項都隨時間按余弦函數變化，可理解為P點仍在振動，但其振幅也隨著時間的變化而變化，從而不能形成固定的加強和減弱區，不能形成穩定的干涉圖樣，這種情況，我們稱之為波的疊加，但不能稱之為干涉，所以，發生干涉的條件應是頻率相同、相位差恒定的同種波源．

綜上所述，運用波動方程和相關數學知識開展教學，可以幫助學生對波的干涉中幾個常見問題的理解更加準確和深刻．