火車汽笛聲的頻率變化曲線的定量分析

卞清

(解放軍理工大學理學院 南京 江蘇 211101)

1842年奧地利物理學家多普勒在鐵路邊散步時,一列火車鳴著汽笛駛過，他注意到列車駛過時,汽笛聲的音調發生了變化，這引起了他的興趣，經過研究發現，當波源和觀察者相對運動時，觀察者所接收到的頻率和波源的頻率不等，這就是多普勒效應(Doppler effect)．

電磁波也存在多普勒效應．電磁波以光速傳播，電磁波的多普勒效應公式要利用狹義相對論推導．聲波和電磁波的多普勒效應原理在科學研究和工程技術中都有著廣泛的應用．

1 駛過靜止觀察者身旁的火車汽笛聲頻率與火車位置的關系

設波源的振動頻率為ν,觀察者接收的振動頻率為ν′，觀察者相對介質靜止，波源以速度v運動．如果波源沿著與觀察者的連線運動, 觀察者所接收到的頻率與波源的頻率之比為

(1)

式中“-”是波源向著觀察者運動，ν′>ν頻率升高；“+”是波源遠離觀察者運動，ν′<ν頻率下降．

當波源的運動方向與二者的連線不平行時，如圖1，只要將式(1)中的波源運動速率v換為vcosθ，θ是波源運動方向與二者連線的夾角[1]

(2)

即然波源運動而觀察者靜止，那么波源與觀察者的相對位置就是變化的，θ角就會隨著波源的位置而改變．如圖1中，波源S是火車的汽笛，設火車相對介質沿著x軸做勻速直線運動，汽笛t時刻的坐標

x=x(t)．觀察者靜止于P處(xp=0)，與火車軌道的垂直距離為d．考慮到聲波傳播所用的時間，觀察者在t時刻接收到的汽笛發出的聲波是t時刻之前的(t-Δt)時刻，汽笛位于x(t-Δt)位置所發出的.

圖1 波源和觀察者的相對位置

注意到圖中的火車坐標x(t)<0，由直角三角形SOP的邊長關系可得

(uΔt)2=(x-vΔt)2+d2

(3)

夾角θ滿足

(4)

式(2)、(3)、(4)聯立，可解出

(5)

式(5)即為經過靜止觀察者旁邊的火車位置與汽笛聲頻率的關系式,其中聲波速率u=340 m/s，火車速率為v，d是觀察者離火車軌道的距離．

2 計算結果與分析

圖2

(1)圖2(a)中兩條曲線分別是火車速率為50 m/s和30 m/s，觀察者與軌道的距離為5 m.

火車以30 m/s的速率運動時

在這兩種速率下，頻率最大相對改變量分別為

(2)圖2(b)中的兩條曲線分別是觀察者與軌道的距離為5 m和15 m，火車速率為50 m/s

從圖中可以看出,汽笛聲的最高和最低頻率相同．頻率從最高到最低的連續變化過程發生在|x|

3 結論

駛過靜止觀察者身邊的火車汽笛聲的音調由最高到最低，經過觀察者附近時有一段連續的降調過程．觀察者離火車軌道越近，變調越快．

本文只分析了靜止觀察者接收到的火車汽笛聲的音調變化，對運動的觀察者,如在汽車中的觀察者所聽到火車汽笛聲的音調變化可以用相同的方法來定量分析．

參考文獻

1 吳王杰.大學物理學(下冊).北京：高等教育出版社，2009.45