無限長桿自由縱振動的傅氏解

屈軍 徐華鋒 崔執鳳

(安徽師范大學物理系 安徽 蕪湖 241000)

目前的數學物理方程教科書中指明[1,2]：對于無限長桿的自由縱振動，或者電阻、電漏等無限長傳輸線上電流、電壓的變化，都可歸結為以下的初值問題.

(1)

教科書采用的基本是達朗貝爾解法[1,2]，達朗貝爾解法先求出通解，然后從中挑出特解.雖然該方法不是數理方程常用的方法，但是思路容易理解，且物理概念清晰，解答過程簡單明了.在實際的教學過程中，不失一般性，該類問題也可從傅氏積分的方法入手，靈活運用狄拉克函數的特性，得到相同形式的解.具體過程如下：

對u(x,t)進行分離變量，代到泛定方程中

(2)

B(μ)sinμxcosaμt+C(μ)cosμxsinaμt+

D(μ)sinμxsinaμt]dμ

(3)

結合初值條件

u(x,0)=φ(x)=

ut(x,0)=ψ(x)=

(4)

相應系數為

(5)

因此，方程的解可寫為

(6)

積分一共四項，第一、二項和為

δ(ξ-x-at)]dξ=

(7)

第三、四項和為

sinμ(ξ-x-at)]dμ=

sinμ(ξ-x-at)]dμ

(8)

討論

(1)當ξ>x+at，

ξ-x-at>x+at-x-at=0；

ξ-x+at>x+at-x+at=2at>0；

(2)當ξ

ξ-x+at

ξ-x-at

(2)當x-at<ξ

ξ-x+at>x-at-x+at=0→ξ-x+at>0，

ξ-x-at

(9)

利用公式[2]

(10)

從式(8)得到

sinμ(ξ-x-at)]dμ=

sinμ(ξ-x-at)]dμ+

sinμ(ξ-x-at)]dμ+

sinμ(ξ-x-at)]dμ=

(11)

故原初值問題解為

(12)

結果與達朗貝爾解法的結果完全一致[1,2].該方法簡單明了，對更好地理解偏微分方程解的一般性有一定的幫助作用.

參考文獻

1 梁昆淼.數學物理方法(第3版).北京:高等教育出版社,1998. 170

2 四川大學數學系.高等數學第四冊(第3版).北京:高等教育出版社, 2009.121,230