落體偏東在慣性系中的分析

王灑 王玲 汪志云

(湖北文理學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 湖北 襄陽 441053)

在大學(xué)物理教學(xué)中，落體偏東是一個(gè)耐人尋味的問題，在這個(gè)問題上很多學(xué)生百思不得其解．理論力學(xué)教材中，關(guān)于落體偏東計(jì)算公式的推導(dǎo)多采用轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系求解，從而得到如下微分方程組(1).然而，對(duì)這個(gè)問題用非慣性系并以科里奧利力來解釋落體的偏東實(shí)在是沒有必要．無論是從轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系本身涉及的復(fù)雜計(jì)算，還是從整個(gè)過程對(duì)落體偏東本質(zhì)的闡釋來看，這種方法其實(shí)都并沒有起到促進(jìn)教學(xué)的效果．

本文將采用靜止坐標(biāo)系來分析落體偏東的本質(zhì)，并在慣性坐標(biāo)系中推導(dǎo)落體偏東計(jì)算公式．

1 落體偏東問題在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中的表述

轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中落體的運(yùn)動(dòng)微分方程為[1]

(1)

式中，ω為地球自轉(zhuǎn)的角速度，λ為地面上的緯度，h為落體距地面的高度.代入初始條件

(2)

由于ω=7.3×10-5rad/s，略去數(shù)值較小的含ω2項(xiàng)積分得到

(3)

上式即為一般理論力學(xué)教材中關(guān)于落體偏東數(shù)值的計(jì)算式.

2 慣性坐標(biāo)系中的落體偏東問題

我們知道，初始高度為h0(h0?R，R為地球半徑)的自由落體都有

(4)

以地球球心為原點(diǎn)，建立如圖1所示慣性坐標(biāo)系O-xyz[2].

圖1 慣性系中的落體

由圖1中幾何關(guān)系不難看出，落體到地軸的距離r也是時(shí)間的函數(shù)[3]

(5)

由于地球?qū)β潴w引力為有心力，且地軸穿過地心，則對(duì)地軸l動(dòng)量矩守恒[4]

(6)

則有

(7)

由于h0-h?h+R，故有

(8)

(9)

則落體較地表多轉(zhuǎn)過的角度為

而此過程中地表也以地軸為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，忽略落體下落后在緯度方向的位移(這個(gè)值極小)，落體任意時(shí)刻的偏東微分?jǐn)?shù)值為[5]

ds=(h+R)cosλdθ′=ω0gt2cosλdt

落體落地時(shí)有

代入得到整個(gè)過程中的偏東值

(10)

這與轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中的結(jié)果是相符的．

3 結(jié)論

在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系和慣性系中應(yīng)用不同的分析方法最終得到相同的結(jié)果，然而比較兩種方法不難發(fā)現(xiàn)兩種方法的特點(diǎn)，在慣性系中的分析明顯具有簡(jiǎn)單直觀的思路，使學(xué)生在思維層面上更易于接受．

在慣性系中分析落體偏東問題更為直觀：地球和落體之間為有心力的作用，就可以借助動(dòng)量矩守恒來分析，以轉(zhuǎn)動(dòng)角代替直接的偏東位移，這一點(diǎn)在教學(xué)中是值得借鑒的．因?yàn)槁潴w偏東的本質(zhì)是落體高度下降后角速度增大(動(dòng)量矩守恒)的結(jié)果，這就意味著任意時(shí)刻將比地面轉(zhuǎn)過更大的角度，如果學(xué)生看清了這一點(diǎn)，落體偏東就成為一種直觀的必然，而不會(huì)產(chǎn)生由科里奧利力和轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系的分析了帶來的神秘感．

不僅如此，也可以讓不具備轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系相關(guān)知識(shí)的高中生接觸和了解，降低了接受的難度．

參考文獻(xiàn)

1 周衍柏.理論力學(xué).北京：高等教育出版社,2012.189～191

2 程緒和.關(guān)于落體偏東問題的討論.安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1982(1):59～61

3 梁昆淼.落體偏東的初等解說. 大學(xué)物理，1984(2):1～2

4 閻鳳麗.在地心參照系中對(duì)地球赤道上落體偏東的計(jì)算.大學(xué)物理，1994(1)：26～27

5 劉嘉斌.在慣性系中分析落體偏東現(xiàn)象.工程物理，1998(5):17