基于排隊論的銷售模型分析

潘全如

(江蘇科技大學數理學院,江蘇鎮江212003)

0 引言

顧客到達企業尋求服務可以構成一個排隊系統[1]。顧客到達過程即為輸入過程,企業為服務機構,企業根據需要設置排隊規則[2]。顧客到達系統時總是希望等待服務的隊列長度越短越好,否則他們在系統中逗留成本比較高,這需要企業在銷售時提供相對較高的服務速度,但是如果服務速度增高又會導致服務成本升高。如何在服務臺的服務成本與顧客在系統中的逗留成本之間平衡,使兩者之和(稱為系統的綜合成本[3])最小,是一項重要的課題。

1 顧客到達時排隊方式的探討

顧客到達系統的排隊方式主要有3種[4],分別如圖1所示。

圖1為單隊單服務臺系統,排隊等待服務的通道只有一條。圖2為多隊多服務臺系統,每個通道各排一個隊,且每個通道只為自己通道上的顧客服務,顧客不能任意插隊。圖3為單隊多服務臺系統,即顧客排成一個隊,隊列中第一個顧客視哪個通道有空就去哪一個通道接受服務。在這里假設顧客到達為泊松到達,企業按先到先服務的規則服務,服務時間服從負指數分布,則上述3個圖形就分別對應著 M/M/1系統、n個并聯的M/M/1系統、M/M/n系統,其中M/M/1系統是n個并聯的M/M/1系統及 M/M/n系統的特殊情況。

企業總是希望系統總是處于非空閑狀態的,因為空閑概率越大意味著系統的利用率越低;顧客則希望在系統中的逗留時間越短越好。下面從系統的空閑概率與逗留時間兩個角度分析 n個并聯的M/M/1系統及 M/M/n系統。由文獻[5]知:M/M/n系統的空閑概率為記為pn0;n個并聯的M/M/1系統的空閑概率為1-ρ,記為 p00。事實上所以 pn0=,即M/M/n系統的空閑概率小于n個并聯的M/M/1系統的空閑概率。由文獻[5]知:M/M/n系統的平均等待時間為個并聯的M/M/1系統的平均等待時間為

2 銷售企業服務方式的探討

2.1 窗口之間相互幫助的模型分析

對于M/M/1系統,顧客泊松到達,到達強度為λ,服務臺的服務時間是平均服務率為 μ的負指數分布,記,當ρ1＜1時,系統有平穩分布,且顧客在系統內平均逗留時間

對于M/M/n系統,顧客泊松到達,到達強度為 λ,每個服務臺的服務時間是平均服務率為 μ的負指數分布,整個系統的平均服務率為 nμ,記當ρ2＜1時,系統有平穩分布,且顧客在系統內平均逗留時間;其中

若窗口間相互幫助,則M/M/n系統就相當于如下的M/M/1系統:

例1 n=4,λ=5,μ=2,比較各窗口獨立工作與相互幫助時F的大小

顯然,無論窗口是否獨立工作,ˉμ均為nμ,而各窗口相互幫助時顧客在系統中的逗留時間要小于各窗口獨立工作時的逗留時間,因而F在各窗口相互幫助時較小,導致這一結果的原因:各個窗口相互幫助時,避免了一些服務人員的閑置。

2.2 同時為k個顧客服務的模型分析

對于有些類型的服務,服務員需要花相當多的時間在來去的路上,如柜臺每接一筆訂單就向倉庫請求發貨。如果發貨請求時間間隔不大,倉庫可將幾個請求的貨物一起運過來,這樣比每接一個請求即發一次貨的成本要低。設訂單到達服從泊松分布,時刻t系統中訂單數為i(i=0,1,…,s)時,訂單的到達率為 λi;系統服務時間服從指數分布,每次服務k(k為正整數)個訂單,服務率為μ。則可寫出狀態方程組如下:

例2 λi=比較每次同時為2個顧客服務與每次只服務一個顧客時F大小,其中a=b=1,且每次同時服務2個顧客時 μ=10,每次只服務一個顧客時 μ=12。

解 (ⅰ)每次只服務一個顧客時,系統就是一個 M/M/1/s系統,此時容易計算出:p0=0.267,p1=0.267,p2=0.20,p3=0.133,p4=0.083,p5=0.05,系統的平均等待隊長,系統的平均輸入率,顧客在系統中的平均逗留時間0.190=12.190

(ⅱ)每次同時服務2個顧客,將上述數據代入(2)～(6)式及可得:p0=0.184,p1=0.381,p2=0.22,p3=0.123,p4=0.054,p5=0.039,系統的平均等待隊長系統的平均輸入率,顧客在系統中的平均逗留時間10.588

顯然,每次同時服務2個顧客時F較小,導致這一結果的原因:雖然每次同時為兩個顧客服務時,顧客在系統中逗留成本有所增加,但此時服務成本下降,且下降的幅度更大。

2.3 服務率可變的排隊模型分析

如果隊列較長時以較低的速度服務會導致顧客的逗留成本較高,而隊列較短時以較高的速度服務會導致服務成本較高。銷售企業如果根據排隊等待服務的隊列長度,適時地調整服務速度,也能夠使綜合成本降低。設顧客泊松到達,按先到先服務的規則,服務時間服從指數分布,系統中有 i個顧客時到達率為λi,服務率為 μi。令則系統的狀態方程如下:

例3 λi=i=0,1,…,6,n=6,a=b=1,比較服務率為 μi=2+0.3i及 μi≡3.2時F的大小。

解:(ⅰ)μi=2+0.3i,此時服務率可變,將上述數據代入(11)式可得:

顯然,服務率可變時的F較小,即服務速度的適當調整能夠降低系統的綜合成本。

2.4 有k個顧客類時的模型分析

在上面的討論中,假定到達的顧客總是同一類型,即所有的顧客在系統中停留單位時間的成本一樣,實際情況往往不是這樣。現設有k類顧客[8],他們到達系統是以參數為 λk的泊松分布,在系統中逗留單位時間的成本分別為bk,系統對每類顧客的服務時間均服從指數分布,且參數為,系統有s個服務臺,且平均服務時間越短的顧客獲得服務的優先權[9]越高。則第k類顧客在系統中的逗留時間分別為其中為系統中的顧客數。

例4 設有兩類顧客,第一類顧客獲得服務的優先權高于第二類。第一類顧客到達率為λ1=10人/小時,第二類顧客到達率為λ2=20人/小時。系統有5個服務臺,對兩類顧客的服務時間均服從均值為8分鐘的指數分布,計算系統在設置優先級時F的值,并與不設優先級時的F比較大小。

解 (ⅰ)設置優先級時,s=5,λ1=10人/小時,λ2=20人/小時,μ=7.5人/小時,所以所以所以在系統設置優先級時顧客在系統中的平均等待時間為=4.4分鐘。

(ⅱ)系統沒有設置優先級時,此時模型即為 M/M/s系統,其中 s=5,λ=30人/小時,μ=7.5人/小時,

2.5 雇傭幫手的模型分析

是否雇用幫手主要取決于幫手創造的價值是否大于他獲得的工資,如果大于則毫不猶豫地選擇雇用。

例5 某電子儀器廠員工每人每小時工資為8元,他為公司創造的價值是每人每小時12元。現需要抽調部分員工對售出產品作回訪,且認為做回訪工作時員工不創造價值,平均每小時需要10名人員來做一次回訪工作。現抽調一名員工專門做回訪工作,平均4分鐘就能完成一次回訪,如果給該員工雇用一名幫手,則他平均每3分鐘就能完成一次回訪,問雇用者的工資不應當超過多少?

解 在本問題中,員工的工資可以當作系統的服務成本,員工因做回訪工作時沒有創造價值而對公司造成的損失可以看作等待成本,或稱為延遲成本。公司的目標是將每小時的服務成本和延遲成本之和最小化。由上述分析可知:預期成本/小時=服務成本/小時+預期延遲成本/小時。服務成本/小時=工資/小時;預期延遲成本/小時=(預期延遲成本/員工)*(預期的員工數/小時),記預期的員工數/小時=λ人/小時,由題意知λ=10人/小時。預期延遲成本/員工=12元*員工做回訪工作時花在系統中的小時數=12,記員工做回訪工作時花在系統中的小時數=。故延遲成本/小時=12λ.(ⅰ)沒有幫手時,因為平均每4分鐘完成一次回訪,所以μ=15人/小時,小時,服務成本/小時=8元,預期延遲成本/小時=元,此時預期成本/小時=8+24=32元。

(ⅱ)雇用幫手時,因為平均每3分鐘完成一次回訪μ=20人/小時,小時,設 x為雇用人員的工資,則服務成本/小時=(8+x)元/小時,預期成本/小時=小時=12元/小時,于是雇用幫手時的預期成本/小時=(8+x+12)元/小時=(20+x)元/小時。

由題意知:雇用幫手時的預期成本應≤沒有幫手時的預期成本,即20+x≤32,即 x≤12時,系統應當雇用幫手。

3 庫存容量對綜合成本的影響

保持適量的庫存[11]對綜合成本有著重要的影響:庫存少了會影響銷售;庫存多了會影響資金流通,且保管費用也高。那么保持怎樣的庫存才是合理的呢?

假設 (ⅰ)顧客訂貨時刻是一個泊松過程,需定貨 i個單位的顧客到達率為λi,i=1,2,…,m,記 λ=原始庫存為也是最大庫存量。顧客訂貨時只要有庫存就立即發貨;若缺貨就讓顧客等待,且等待需求總數不超過N個單位,否則拒絕其進入系統。顧客發生i個單位需求時,系統立刻發出i個單位的訂貨,以補充庫存;(ⅲ)系統的服務時間服從指數分布,但服務率與尚未交付的訂貨總數有關,系統中有i個單位尚未交付時服務率就為μi;(ⅳ)每個單位的需求缺貨單位時間的損失稱為第一類缺貨損失[12],記為C1(C1＞0);每發生一個單位的缺貨所造成的損失費稱為第二類損失缺貨費,記為C2(C2＞0);倉庫中每個單位的存貨存放單位時間的保管費用記為C3(C3＞0);倉庫存放存貨的每個單位空間在單位時間內所需修建維護費記為C4(C4＞0)。

設ξ(t)為時刻t尚未交付的訂貨總數。因為系統允許排隊長度有限,故系統的平穩概率存在,設為 pn,n=1,2,…,N。根據以上假設,寫出系統的狀態方程組如下:

設c(s)為單位時間內的平均總費用,則

下面求c(s)的最小值。設s*為極小值點,則

令 △c(s)=c(s+1)-c(s),則由(16)式得

由(15)式可得

由(19)式及(17)式得:… ≤ △c(s*-2)≤△c(s*-1≤0≤ △c(s*)≤ △c(s*+1)≤… ,由 … ≤△c(s*-2)≤△c(s*-1)≤0可得:c(s*)≤c(s*-1)≤c(s*-2)≤…,由0≤△c(s*)≤△c(s*+1)≤…可得:c(s*)≤c(s*+1)≤c(s*+2)≤…,從而c(s*)為最小值。從以上推導也可以看出求最優存儲量s*的計算方法:從s=1開始分別計算△c(s)的值,使 △c(s)第一次變為非負值時的s即為所求的最優存儲量s*。

由于 △c(s)≥0,所以從s=1開始逐個計算(6*)右端的值,直到其變為正值,則此時對應的s值即為最優存儲量(記為s*),因為當s≥s*時,△c(s)≥0,且(6*)式右端隨s增大時非降,即有c(s*)≤c(s*+1)≤c(s*+2)≤…。

例 c1=2,c2=2,c3=4,c4=1,m=3,N=5,λ1=3,λ2=2,λ3=1,μi=iμ,i=1,2,3,μ=2,μ3=μ4=μ5。

解 將題設數據代入(12)～(14)式可得:p0=0.031,p1=0.273,p2=0.163,p3=0.214,p4=0.275,p5=0.044,又時,令(20)式右端為 φ(s), φ(1)=-12.52 ＜0, φ(2)=-9.26＜0,φ(3)=-6.92＜0,φ(4)=0.56＞0,所以s=4為最優存儲量。

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