關于矩陣Jordan標準形研究性教學的探討

趙琳琳

（德州學院 數學系，山東 德州 253023）

矩陣的Jordan標準形是線性代數的中心結果之一，不僅在矩陣理論與計算中起著十分重要的作用，而且在控制理論、系統分析、力學等領域中也是一個非常重要的工具.由于Jordan標準形涉及到相似、Jordan塊，計算又用到初等因子，這使得大多學生感到晦澀難懂不易理解.在當今大學提倡研究型教學的形勢下，教師在講授Jordan標準形的同時，讓學生接觸一些它的性質和應用，可加深學生對Jordan標準形這一經典理論的理解，為后繼研究學習奠定基礎.結合教學與科研工作體會，本文從為什么研究矩陣特征Jordan標準形、怎么研究及其應用等方面給出了矩陣Jordan標準形研究性教學的幾點體會.

1 為什么研究矩陣Jordan標準形

我們知道，相似矩陣有相同的跡、行列式、特征多項式和特征值，但反之不一定成立.另外，兩個看上去很不相同的矩陣仍可以相似，從而引出這樣一個問題：在什么情況下兩個矩陣相似？一個比較自然的想法是：設想有某個具有指定形式的“簡單”矩陣的集合，然后看這兩個已知矩陣是否可以通過相似化成這些“簡單”形式中的一個.如果可以，它們就相似，因為相似關系具有傳遞和對稱性.那么什么樣的“簡單”形式能符合這個要求呢？最容易想到的就是對角矩陣，但它不一定總能實現；其次是上三角矩陣，但是上三角矩陣有m(n+1)/2個元素需考察，數目太大.如果對每一個矩陣來求一個盡可能接近對角矩陣的上三角形式，而且還可以用相似變換得到，問題就解決了，所得結果就是Jordan標準形.在一般的教材中，大多是直接給出Jordan標準形的結論，很少介紹為什么要研究Jordan標準形.若在教學中加入這些細節，可以使學生知其然也知其所以然，也能使學生較容易接受，對培養學生的獨立思考能力和學習興趣有很好的作用?.

2 怎么研究矩陣Jordan標準形

Jordan標準形定理的內容是：每一個復方陣A都相似于一個Jordan矩陣

是一個ni階的Jordan塊，n1+n2+…+nk=n.Jordan矩陣J稱為矩陣A的Jordan標準形，它在不計對角Jordan塊的順序時是唯一的.

由于標準形定理涉及到Jordan塊及Jordan矩陣，教學中我們可以從Jordan塊的性質、Jordan矩陣的結構以及標準形的計算等方面來學習矩陣的Jordan標準形.

2.1 Jordan矩陣的結構性質

Jordan矩陣J是一個“近乎對角”的有確定結構的矩陣，由這一結構可以較容易看出該矩陣以及與其相似的任意矩陣的某些性質，列舉如下[2,3]：

（1）Jordan塊的個數k是J的線性無關特征向量的個數，J可對角化當且僅當k=n.

（2）對 ni階的 Jordan塊 Jni(λi)，有

且(Jni-λiI)k=0圳k≥ni.

（3）Jordan矩陣給出了矩陣A特征子空間的精細結構，即相應于一個已知特征值的Jordan塊的個數是相應的特征空間的維數.

（4）Jordan矩陣J的所有子塊 Jni(λi),i=1,2,…,k的階數可以通過分析某些冪的秩來確定.如果λ1是n階矩陣J的特征值，則取冪(J-λ1I),(J-λ1I)2,…,最終(J-λ1I)k的秩將停止下降，使(J-λ1I)k的秩達到它的極小值的那個最小的k值就是相應于λ1的最大子塊的階.例如：如果

經計算得，rank(J-2I)=5，rank(J-2I)2=3，rank(J-2I)3=2,rank(J-2I)4=2.這組數足以確定相應于λ1=2的Jordan子塊的分塊結構.由rank(J-2I)3=rank(J-2I)4=2，可得相應于λ1的最大子塊的階是3，rank(J-2I)2-rank(J-2I)3=1是3階子塊的個數，因而只有一個3階子塊，rank(J-2I)-rank(J-2I)3=3是3階子塊個數的2倍加上2階子塊的個數，因而有一個2階子塊，一階子塊的個數等于 8-rank(J-2I)3-3×1-2×1=1.對 λ2，λ3，等等可作同樣的分析，因而可確定出所有的子塊.

在教學過程中，讓學生適當地了解上述一些有關Jordan矩陣的性質，有助與加深他們對Jordan矩陣這一概念的理解，為下面的Jordan標準形的學習和計算提供感性的認識和必要的基礎.

2.2 Jordan標準形的計算

Jordan標準形是線性代數的經典結論之一，從而有必要讓學生了解Jordan標準形的一些求解方法.對于給定的 階矩陣A，怎樣求A的Jordan標準形？教材[1]利用的是矩陣的初等因子.例如：給定矩陣

經計算得A的初等因子是λ-1，(λ-1)2，那么A的Jordan標準形是

除此之外，根據Jordan矩陣的性質（4），還可以通過以下步驟來確定：

第一步，求出它的所有不同特征值；

第二步，對 A的每個不同的特征值 λi，作(A-λiI)k，其中k=1,2,…,n，然后分析這些矩陣的秩所組成的序列，得到相應于λi的所有Jordan塊的階數與個數.

解 經計算得矩陣A的特征值為1，且

從而rank(A-I)=1.由(A-I)2=0說明相應于1的最大子塊的階是2，(A-I)的秩就是2階子塊的個數，因而只有一個2階子塊.因此可得A的Jordan標準形是

2.3 Jordan標準形的組合刻畫

由Jordan標準形定理可得：兩個矩陣相似當且僅當它們有一個共同的Jordan標準形.用S(A)表示與A相似的所有矩陣的集合，符號覬(A)表示矩陣A的非對角位置的非零元的個數.如果不計較置換相似，矩陣的Jordan標準形J(A)是S(A)中非對角位置零元素的個數達到最大的唯一的形式[4]，這就是Jordan標準形的組合刻畫.

3 矩陣Jordan標準形的應用

有了矩陣的Jordan標準形，我們可以很容易地了解矩陣是否可逆，是否可對角化，也能較輕松地得到它的行列式因子、初等因子等.除此外，Jordan標準形在線性微分方程組的求解以及矩陣分解中應用廣泛，參見文獻[2]和[3]，然而在教材中很少涉及，作為教師的我們可適當地加進一些Jordan標準形的如下幾點應用：

3.1 利用Jordan標準形證明Hamilton-Cayley定理

Hamilton-Cayley定理 設A為n階復矩陣，f(λ)是A的特征多項式，則f(A)=0.

證明[3]設A的特征值為λ1,λ2,…,λn且存在可逆矩陣P，使得PAP-1=J，這里J為A的Jordan標準形，可得

3.2 Jordan標準形在矩陣分解中的應用

命題1[5]復數域上任何n階方陣，都可以寫成兩個對稱矩陣的乘積.

命題2[5]設A為n階復矩陣，那么A可寫一可對角化矩陣與一冪零矩陣的和.

3.3 Jordan標準形在線性微分方程組求解中的應用

例[2]解下列微分方程組

解 首先把微分方程組改寫成矩陣形式：

然后對微分方程組施行一個非奇異線性變換，即：x=Py，其中

于是，就有

從而其一般解分別為

再由x=Py，得原微分方程的一般解為

由此可見，Jordan標準形在求解某些線性微分方程組時，可以較大的簡化求解步驟，這樣就在一定程度上擴大了線性微分方程組的應用領域，反過來也促使人們致力于矩陣Jordan標準形的研究與發展.

〔1〕北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數（第二版）[M].北京：高等教育出版社2011.

〔2〕R.A.Horn,C.R.Johnson.Matrixanalysis[M].CambridgeUniversityPress,1985.

〔3〕李桂榮,孫杰,劉耀斌.Jordan標準形矩陣的性質及應用[J].德州學院學報,2003,19（4）：20-24.

〔4〕詹興致.矩陣論[M].北京：高等教育出版社,2008.

〔5〕張賢達.矩陣分析與應用[M].北京：清華大學出版社，2004.