常微分方程的解法與教學改革

摘 要：有關常微分方程的解法一直以來都是教學過程中的重點和難點，因此，文章重點就常微分方程的幾種常見的解法進行分析，并就其教學過程中出現的問題提出了一些改革措施，希望能夠促進學生創新能力及獨立思考能力的培養。

關鍵詞：常微分方程；解法；教學改革

作為高等院校中數學及應用數學等專業的一門重要課程，常微分方程的教學過程中仍存在著一定的問題，而常微分方程作為數學學科中實際問題的主要解決手段之一，一直以來也備受人們的關注。在實際應用時，如何進行常微分方程的求解非常重要。因此，下文就常微分方程的主要解法進行了分析，并就此門課程教學的改革及調整措施進行了研究。

1 常微分方程的主要解法分析

1.1 分離變量求解法

對于一階可分離變量的常微分方程而言，通常先對其進行變量的分離，使得等式的某端只包含dy或y，而另端則只包含dx或x。而后分別對兩端進行積分，便可以求出此類常微分方程的通解，將初始條件代入即可獲得此方程的特解。以下舉例說明：

2 常微分方程教學改革措施分析

如今，有關常微分方程的教學現狀如下，教學過程中，大綱、內容、要求及考核等多個環節均各自為政，因而對教學資源的利用以及教學質量等都十分不利。因此，必須針對這些進行深入研究，以適應教學需求。為此提出了如下改革措施：

2.1 對課程目標及其定位進行明確

作為數學學科中十分重要的一門專業課程，常微分方程的教學時間通常在第四個學期。通常在線性代數、普通物理力學、數學分析及空間幾何學習結束后才開始此門課程的學習。此門課程教學目標即結合空間解析幾何、物理學、線性代數等學科知識，采用微積分思想解決數學以及其他學科中基本微分方程等的相關問題，學生通過掌握此方法，以為其學習其他理論奠定基礎。此外，通過此門學科的學習及訓練，確保學生能夠初步掌握數學建模的方法，了解自然等學科中某些非線性問題的解決辦法，從而為以后相關領域的學科研究提供途徑。

2.2 構建課程新體系

常微分方程課程新體系包括如下三個模塊：（1）理論模塊，也就是概念、初級解法等初步理論，主要是基礎內容。（2）解方程模塊，此模塊內容分散于各個章節之中，且內容較雜，類型也較多，需要及時進行歸類和訓練。（3）應用模塊，除了每章或某一節以實際問題進行建模外，要應適當進行數學建模內容的補充，同時結合Matlab等軟件對方程進行求解。例如，可先對學生進行實際背景的講授，而后進行微分方程的求解，再回到實際問題中對此現象進行解釋。這樣不僅鞏固了學生的理論知識，提高了學生的興趣，還大幅度增強了其獨立學習能力。除此以外，還應注意將教材同實驗進行有機結合，并注意將建模引入教育過程中，以發揮其在實際應用過程中的巨大作用，以培養高素質開拓型及應用型人才。

2.3 教學手段和方法的改革

改變傳統教學觀念，讓學生主動參與學生過程中，教師積極發揮其主導作用，引導大家去發現、創新并思考，采用討論式、研究式等各種教學方法來吸引大家參于教學過程中來，注重實際背景知識的講解，并明確概念及方法來源，將抽象概念引入生動具體的實例中來，采用探究式教學強化對學生邏輯思維能力的培養，以精講、慢講，輔以訓練，實現難點知識的化解，并有效提高其教學效果。

參考文獻

[1]全衛貞.常微分方程的教學比較研究[J].高等函授學報，2010（2）：53-55.

[2]藍師義.常微分方程教學改革的探索[J].廣西民族大學學報，2011（3）：102-104.

[3]余惠霖.幾種常微分方程解法中的數學化歸思想[J].柳州師專學報，2011，26（2）：123-126.DOI：10.3969/j.issn.1003-7020.2011.02.036.

[4]劉惠娟，陳興海.《常微分方程》教材研究與教學探討（二）[J].玉林師范學院學報，2008，29（3）：9-14.

[5]陳永勝，任燕.基于MATLAB求解常微分方程[J].通化師范學院學報，2008，29（4）：103-105.

[6]黃贊，羅佩芳.一類二階常微分方程的幾種解法[J].中國科技信息，2009，（18）：203-204.

[7]張少華，王思聰.《常微分方程》教學中探究式教學法初探[J].遵義師范學院學報，2007，9（6）：72-74.

[8]翟昌盛.Matlab在常微分方程教學中的一些應用[J].科技信息（學術版），2008，（36）：479.