數(shù)學(xué)插值方法在水文地質(zhì)學(xué)中的應(yīng)用探討

摘 要：數(shù)學(xué)插值法是一種由已知的離散因變量的值來估計(jì)未知的中間插值的方法。這種方法在很多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，本文主要是論述了幾種常用的數(shù)學(xué)插值法及其在水文地質(zhì)學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)插值法；水文地質(zhì)；實(shí)際應(yīng)用

數(shù)學(xué)插值法又被叫做稱內(nèi)插法，其在水文地質(zhì)學(xué)應(yīng)用廣泛，尤其是在山區(qū)的水文地質(zhì)檢測中。數(shù)學(xué)插值法是在水文地質(zhì)運(yùn)算中常用的一種函數(shù)，是利用函數(shù)f（x）在某區(qū)間中若干點(diǎn)的函數(shù)值，并根據(jù)這些數(shù)值得出恰當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù)，利用這些已知的數(shù)值，在區(qū)間的其他點(diǎn)上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f（x）的近似值的一種方法。數(shù)學(xué)插值包括：lagrange插值、newton插值、hermite插值、分段多項(xiàng)式插值及樣條插值。

在水文地質(zhì)學(xué)中，為了能夠有效的反映含水層的空間分布以及空間形態(tài)特征，需要用到插值法來編制含水層的厚線圖，以及等高線圖等。為了繪制這些圖，就必須涉及數(shù)學(xué)插值問題。當(dāng)我們使用數(shù)學(xué)插值法來評(píng)估地下水資源時(shí)，我們有必要將所研究的地區(qū)進(jìn)行剖析，將連續(xù)變量離散化，從而得出結(jié)點(diǎn)上的源頭值。但是，在多數(shù)結(jié)點(diǎn)的一些參數(shù)是未知的，這些未知的參數(shù)需要插值法來確定。近些年，隨著水文地質(zhì)學(xué)的需要，在實(shí)際的工作中人們?nèi)匀淮罅康氖褂脭?shù)學(xué)插值法。

1 幾種常見的插值

第一，拉格朗日（Lagrange）插值；已知f（x）的n+1個(gè)離散數(shù)據(jù)對(duì){（xi，yi）}ni=0.求作次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式y(tǒng)（x），使?jié)M足條件y（xi）=f（xi），i=0，1，…，n.這就是多項(xiàng)式插值問題。當(dāng)我們用幾何語言來描述這種插值，也就是通過在曲線上給定的n+1個(gè)點(diǎn)，來做出一條代數(shù)曲線，這條曲線的次數(shù)不能超過n。

第二，分段線性插值；所謂分段線性插值是通過相鄰的兩個(gè)基點(diǎn)作為線性插值，其主要的優(yōu)點(diǎn)是可以克服拉格朗日（Lagrange）插值在計(jì)算過程中可能出現(xiàn)的數(shù)值不收斂性。使用該方法處理數(shù)據(jù)主要是增加了插值的基點(diǎn)，從而進(jìn)一步的提高了數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度。但是，通過幾何方法分析，分段插值法存在著基點(diǎn)處不光滑等缺點(diǎn)。盡管分段線性插值的精度可能會(huì)差一些，但是在實(shí)際中還是有著廣泛的應(yīng)用，比如在水文地質(zhì)學(xué)的計(jì)算中，就因其不會(huì)出現(xiàn)不收斂的現(xiàn)象而常常被使用。

第三，三次樣條插值；這種方法最大的特點(diǎn)就是客服了上述兩種方法存在的不足，即基點(diǎn)處的不光滑，以及插值的不收斂性。但是，使用三次樣條插值法必須要滿足下列條件：首先，y（x）在每個(gè)子區(qū)間上的次數(shù)都不能多于3；其次，y（x）、y'（x）以及y\"（x）在插值區(qū)間上必須是連續(xù)的等。使用三次樣條插值可以降低多項(xiàng)式的次數(shù)，從而使得計(jì)算的結(jié)果具有較高的光滑性。

第四，近點(diǎn)法；該方法是按近點(diǎn)距離加權(quán)平均法的簡稱，其主要的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算程序設(shè)計(jì)步驟簡單，而且計(jì)算的速度也相對(duì)較快，而且使用該方法得出的等線值圖的光滑性是比較令人滿意的。該方法的缺點(diǎn)就是其唯一性較差，計(jì)算結(jié)果和選擇點(diǎn)的數(shù)量有直接的關(guān)系，如果選擇的點(diǎn)數(shù)不同，那么得到的數(shù)值就會(huì)不同。而且該方法的使用范圍也受到一定的限制。

第五，方位法；這種方法的全稱是四方位按距離加權(quán)平均法。該方法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算速度快，但是在計(jì)算不均勻的數(shù)據(jù)時(shí)，獲得的插值效果較差。如果用該方法在水文地質(zhì)中的含水層厚度空白區(qū)插值計(jì)算，則會(huì)出現(xiàn)去全局趨勢不吻合的現(xiàn)象。分析其原因，主要是因?yàn)榉轿环ǐ@得插值是由一個(gè)插值點(diǎn)上的四個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)來決定的，當(dāng)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)分布較為稀疏的時(shí)候，這種方法則不能包含所有的信息。所以，在實(shí)際的應(yīng)用中要根據(jù)具體的情況來決定是否使用該方法。

第六，雙三次多項(xiàng)式曲面片擬合法（曲面法）；該方法適用于按規(guī)律分布的數(shù)據(jù)，在這種條件下，該方法可以發(fā)揮其擬合度高的優(yōu)點(diǎn)。而且我們可以利用相鄰結(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，將整個(gè)區(qū)域組合成一個(gè)連續(xù)的大曲面。但是，不足的是該方法只能用于規(guī)則的數(shù)據(jù)，這使其使用價(jià)值顯著降低。而且其程序設(shè)計(jì)也相對(duì)復(fù)雜。

第七，加權(quán)二乘法；雖然該方法需要考慮的因素較多，但是使用該方法所得到的圖形可以較好的反應(yīng)一定的變化趨勢，而且圖形的平滑性相對(duì)較好，也有較好的唯一性。但是，由于計(jì)算每一個(gè)插值都需要解一個(gè)一次方程組，所以影響了計(jì)算速度。

2 在水文地質(zhì)學(xué)中使用數(shù)學(xué)插值法應(yīng)該注意的問題以及改進(jìn)方法

首先，有效的處理好方位因素的影響；對(duì)插值方法影響較大的是出現(xiàn)數(shù)據(jù)分布不均勻的時(shí)候。當(dāng)數(shù)據(jù)分布不均勻時(shí)，對(duì)加權(quán)二乘法的影響最為顯著，主要是因?yàn)楫?dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)的選擇不當(dāng)，會(huì)使去面片發(fā)生異位。對(duì)于該問題，筆者認(rèn)為可以采取以下兩種措施來盡可能的避免誤差的出現(xiàn)：第一，用方向性對(duì)數(shù)據(jù)分析結(jié)果進(jìn)行補(bǔ)償；第二，以插值點(diǎn)為中心，進(jìn)行角限選值，主要是將平面分成n等分，然后在每一個(gè)角限域內(nèi)選擇合適的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。

其次，科學(xué)的選擇權(quán)函數(shù)；主要是針對(duì)近點(diǎn)法以及加權(quán)二乘法。所以，筆者認(rèn)為根據(jù)不同條件下水文地質(zhì)學(xué)計(jì)算的要求，我們選擇不同的權(quán)函數(shù)。

第三，斷層問題的處理；在水文地質(zhì)學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到斷層問題的計(jì)算。但是，從實(shí)際的經(jīng)驗(yàn)看來，如果使用斷層兩側(cè)的數(shù)據(jù)來計(jì)算插值是不符合邏輯的。筆者認(rèn)為，在遇到斷層需要計(jì)算時(shí)，可以在程序的設(shè)計(jì)中將斷層假定為簡單的直線或是曲線f（x）。這樣在計(jì)算時(shí)，可以將斷層分成幾段不連續(xù)的曲面，在計(jì)算的過程中就可以對(duì)其進(jìn)行有效的控制。但是，如果用將斷層用直線表示，則可以用：f（x，y）=y-（b+bx）。

第四，數(shù)據(jù)點(diǎn)的選擇；當(dāng)需要處理的數(shù)據(jù)很多的時(shí)候，選擇有效的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)成為計(jì)算效率和準(zhǔn)確率的關(guān)鍵。如果選擇的點(diǎn)過多，則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量加大，相反，如果選的點(diǎn)不夠則會(huì)影響數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度。通過實(shí)踐，我們發(fā)現(xiàn)，在距離Z點(diǎn)近的數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)數(shù)據(jù)的影響是最大的，而較遠(yuǎn)的點(diǎn)影響相對(duì)較小，所以，選擇近點(diǎn)的4到8個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算就可以達(dá)到一定的精準(zhǔn)度。

3 結(jié)束語

水文地質(zhì)學(xué)在實(shí)際的應(yīng)用中，對(duì)我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展，以及國土規(guī)劃和整治以及城市的現(xiàn)代化建設(shè)，環(huán)境的保護(hù)等，都發(fā)揮著重要的作用。而數(shù)學(xué)插值法在水文地質(zhì)學(xué)中發(fā)揮著重要的作用，對(duì)于水文地質(zhì)學(xué)的快速進(jìn)步起著促進(jìn)作用。在水文地質(zhì)學(xué)中，應(yīng)用的幾種常見的數(shù)學(xué)插值法，在實(shí)際的應(yīng)用中，都必須考慮到實(shí)際的環(huán)境，對(duì)其應(yīng)用應(yīng)該做到具體情況具體分析，這樣才能提高計(jì)算的效率和準(zhǔn)確度。與此同時(shí)，當(dāng)前用的數(shù)學(xué)插值法還存在著不足，還需要進(jìn)一步的努力來逐漸的完善，并能夠結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù)使其計(jì)算的速度和準(zhǔn)確度有更大的提高。

參考文獻(xiàn)

[1]李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，1982.

[2]陳公寧，沈嘉驥.計(jì)算方法[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]吳才斌.插值方法[J].湖北大學(xué)成人教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1999，（5）.

[4]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[5]姜琴，周天宏.常見的插值法及其應(yīng)用[J].鄖陽師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2006，（03）.