論主觀概率判斷中的基礎概率謬誤

摘要：“基礎概率謬誤”是人們在進行主觀概率判斷時傾向于使用具體信息而忽略掉一般信息的現象。它可以解釋很多情況下人們所做的主觀概率判斷和決策。它的提出使得人們不得不重新思考以貝葉斯定理為基礎的決策理論的規范性研究方案，繼而開始了決策理論的描述性研究，并提出了支持理論等重要理論成果。關于基礎概率謬誤產生的認知策略，主要有代表性啟發策略、相關性原則、非因果基礎概率原則等解釋。但是，基礎概率謬誤并不就真的是“謬誤”，有時候這還是一種合理的決策方式。

關鍵詞：主觀概率判斷；基礎概率謬誤；代表性啟發策略；相關性原則；非因果基礎概率

中圖分類號：B017 文獻標識碼：A 文章編號：１００３－１５０２（２０13）０1－００10－０6

貝葉斯定理（Bayes' theorem）是概率論中非常重要的一個定理，它能夠為主體利用搜集到的新信息對原有判斷進行修正提供有效手段，因此，在很長的一段時間里，它都是決策理論的一個重要理論基礎。但是，這個理論基礎在20世紀70年代遇到了嚴峻的挑戰，該挑戰來自于卡尼曼（Kahneman）和特維爾斯基（Tversky）提出的“基礎概率謬誤”（Base-Rate Fallacy）。挑戰了人們關于決策理論及其理論基礎的傳統看法，即決策原則必須要遵循概率理論，只有遵循貝葉斯定理的規范性決策方案才是正確的。從而使人們意識到了決策理論的規范性研究的局限性，進而開始了決策理論的描述性研究并取得了豐碩的成果，使得我們對于人類的決策判斷有了更深層次的理解。因而，基礎概率謬誤問題在決策理論的發展史上具有舉足輕重的地位，引起了邏輯學家、經濟學家、心理學家等的廣泛關注，關于這一問題的討論一直持續到現在。

一、基礎概率及基礎概率謬誤

當我們在判斷某個事件發生的概率的時候，比如醫生診斷一個病人患有胃癌的可能性時，我們可以獲得的信息通常有兩種：（1）一般信息：這是關于事件的發生頻率的信息。在上述疾病診斷的例子中，一般信息就是胃癌在人群中的發病率。（2）具體信息：這是關于事件的一些具體情況的信息。在上述疾病診斷的例子中，具體信息就是醫學檢查所得到的病人的檢測結果。當把第一類信息和第二類信息放在一起進行對比的時候，第一類信息就被稱作“基礎概率”信息。

基礎概率謬誤也稱“基礎概率忽略”或“基礎概率偏見”，是指人們在進行直觀概率判斷的時候，傾向于使用具體信息（當這種具體信息存在的時候）而忽略掉基礎概率的現象。也就是說，當人們擁有兩種類型的信息時，往往傾向于根據具體信息來進行直觀概率判斷，而把基礎概率拋之腦后。這就導致了人們的判斷結果和貝葉斯定理所給出的結論大相徑庭，從而被稱之為“謬誤”。許多的實驗研究中都發現了這一現象，其中，“出租車問題”[1]是最為典型的一個例子。該問題如下：

某個傍晚，一輛出租車肇事后逃逸。這個城市一共有兩個出租車公司，根據他們所經營的出租車的顏色，我們稱其為藍車公司和綠車公司。其中，藍車公司的出租車數量占15%，綠車公司的出租車數量占85%。一個目擊者說，該車是藍色的。后來經過測試，發現該目擊者在當時那種情況下的判斷正確率為80%。那么，該肇事車輛是藍車的概率是多少？以下有三個選項，請問哪一個最有可能？

A. 該肇事車輛是藍車的概率是0.8

B. 該肇事車輛是藍車的概率是0.5

C. 該肇事車輛是藍車的概率遠小于0.5

這個問題最早是由卡尼曼和特維爾斯基提出來的。他們做了大量的心理學實驗，并且發現，大多數人認為選項（A）是正確答案，只有極少數人認為（C）是正確答案。但事實上，根據貝葉斯定理可知，（C）才是正確答案。其解答過程如下：

令B和G分別表示肇事出租車是藍車和綠車；W表示目擊證人的證詞；Wb表示目擊證人說那輛肇事出租車是藍色的。

所以，P（G）=0.85； P（B）=0.15；P（Wb/B） = 0.8

此外，由于目擊證人有20%的可能性會給出錯誤答案，因此，當他說肇事車輛是藍車但實則為綠車的概率是20%，即P（Wb/G） = 0.2

根據貝葉斯定理，我們有：

P（G/Wb）=1-P（B/Wb）=1-0.41=0.59

由此可知，肇事車輛極有可能是綠車。其實，這就是我們通常所說的“規范性”答案。

但是，卡尼曼和特維爾斯基的研究發現，大多數人認為肇事車輛是藍色的概率是0.8而不是0.41。事實上，這個問題中也有兩類信息。一類是兩個出租車公司各自所占的市場份額，我們稱其為基礎概率信息；另一類是目擊證人的證詞，這是與這個問題直接相關的信息，我們稱其為具體信息（或個別信息）。當人們在進行直觀概率判斷的時候，往往把注意力集中在目擊證人的準確率為80%這一個具體信息上，而完全忽略了基礎概率，即藍車公司的市場份額只有15%，也就是說，大街上跑的出租車中，只有15%的出租車是藍色的，而另外的85%都是綠色的。

卡尼曼和特維爾斯基用這個例子表明，人們在進行主觀判斷的時候，并不會嚴格遵守貝葉斯定理，而是會犯類似于出租車問題中所說的“基礎概率謬誤”。

二、基礎概率謬誤產生的認知策略

為什么人們在進行直觀概率判斷的時候會忽略基礎概率？這種現象背后的原因和機制是什么？心理學家們做了許多的實驗研究并提出了各自的解釋，其中最為有名的解釋來自卡尼曼和特維爾斯基。下面就對他們的觀點以及相應的批評和解釋做一簡要論述。

1.卡尼曼和特維爾斯基的解釋：代表性啟發策略

卡尼曼和特維爾斯基試圖用“代表性”（Representativeness）來解釋這一現象產生的原因。他們認為，代表性是一種啟發式判斷策略，它在人們的直觀判斷和預測中被廣泛使用。當人們根據這種策略來對某個事件進行判斷和預測的時候，會選擇那些看上去與證據具有高度代表性的結果。也就是說，當人們根據代表性策略來對某個事件的概率進行判斷的時候，人們會把這個事件的本質特征與其可能屬于的類事件的本質特征進行對比，并把那些可能的類事件按照其所能代表的該事件的本質特征大小來進行排序和選擇。這樣一來，直觀判斷或預測對于證據的可靠性或結果的初始概率就不“敏感”了，從而和規范性決策理論所給出的結果相違背。[2][3]

比如，人們根據下面這段關于斯蒂文的描述而做出的判斷：“斯蒂文非常害羞且沉默寡言。雖然他非常樂于助人，但他對人和現實卻不怎么感興趣。他性格溫和、愛好整潔、講究次序、關注結構，對于細節的要求非常高。”在以下的職業中，人們是如何來判斷斯蒂文究竟從事的是哪一種呢？農民、銷售員、飛行員、圖書館員，還是內科醫生？根據代表性啟發策略，人們會認為斯蒂文是一個圖書館員。因為人們通過把這段描述所呈現出來的特征與那幾種職業的范型進行比較，發現這段描述與圖書館員的范型最為相似，或者說與圖書館員的代表性程度最高。

這就表明，人們關于某個事件的后驗概率判斷，主要是根據這個事件與某個范型的相似性或代表性來進行的，通過比較，然后選擇那種與這段描述最為相似或最具代表性的職業。由此，卡尼曼和特維爾斯基就得出結論：“因此，根據代表性假設，當存在個別信息的時候，先驗概率就被大大地忽略掉了。”[2]“這就表明，在不確定條件下進行判斷和預測的時候，人們通常都不會嚴格遵守概率計算規則或統計預測理論。相反，他們會依據一些啟發式判斷策略來進行判斷。這在有時候會做出比較合理的判斷，但有時候卻會導致系統性錯誤。” [2]

2.巴希勒的解釋：相關性原則

巴希勒（Bar-Hillel）認為，卡尼曼和特維爾斯基的解釋是不充分的。他試圖通過“相關性”（relevance）來解釋這種現象。

首先，人們忽略掉基礎概率信息是因為覺得它和當下的判斷無關。“我認為，主體忽略掉基礎概率，是因為他們覺得基礎概率應該被忽略掉，更直白地說，是因為基礎概率和他們正在做的判斷無關。”[4]因而，在這里就有一個主觀的認知因素在里面了。人們在出租車肇事逃逸這一問題上，之所以不考慮藍車公司和綠車公司所占的市場份額這一基礎概率信息，是因為他們覺得，這里既然是讓我們判斷某次交通事故的肇事者，而且又有目擊證人，所以，我們當然應該關注目擊證人的證詞及其準確率。而這兩個出租車公司各自所占的市場份額，則與這個問題的判斷不太相關。

其次，當人們面對多條信息的時候會進行判斷和篩選，其依據就是相關性的大小，相關性小的會被相關性大的信息所支配或掩蓋。“我認為，人們根據這些信息與他們正在做的判斷的相關性大小來進行排序。如果兩條信息看上去具有相同的相關性，那么，這兩條信息就會在人們的判斷中起著相同的作用。換句話說，人們只考慮其中的一條信息而忽略掉另外一條信息的話，是因為后者似乎沒有前者的相關性大。”[4]但是，相關性的大小是如何體現出來的呢？巴希勒認為，“相對于所需要判斷的事件來說，如果一條信息比另外一條信息更加明確、特殊或個別，那么，這條信息就比另外那條信息的相關性大。”[4]

第三，基礎概率并不總是會被忽略掉。巴希勒認為，“當人們覺得基礎概率的相關性并不比指示信息（即具體信息）的相關性小時，基礎概率就不會被忽略掉。從而也就不會導致基礎概率謬誤的產生。”[4]

巴希勒為了證明他的觀點，對出租車問題進行了稍微的改編，具體如下：

一種大型水泵同時由兩個發動機帶動。這兩個發動機看上去基本一樣（在產品的外觀、型號、使用年限等方面），只是在過去的很長一段時間里，它們的故障率不同。當這個水泵出故障的時候，85%的故障是由A發動機導致的，15%的故障是由B發動機導致的。

由于在修理的時候需要把發動機取出來，而且把發動機取出來維修是一件很費時費力的工作，因此，在決定維修之前，通常都要做很多測試，來確定是哪個發動機壞了。這個測試是通過檢測發動機周圍的磁場來進行判斷的，一般來說，壞的發動機的磁場有80%的可能性弱于好的發動機的磁場，但由于其他各種原因，壞的發動機的磁場也有20%的可能性強于好的發動機。

假設某個水泵突然停止工作了，而檢測儀器的檢測結果是發動機B壞了。你認為，這次故障是由發動機B導致的可能性是多大呢？

巴希勒的實驗研究結果是，被試給出的答案介于15%和80%之間，而這些答案的中值是40%。[4]這個結果和貝葉斯后驗概率非常接近。這就表明，在這個問題中，基礎概率信息并沒有像出租車問題中的基礎概率信息那樣被忽略掉了。其背后的原因是什么呢？我們可以做如下的簡要分析。

事實上，這個問題和出租車問題的基本結構和數據信息完全一樣。這里有一個儀器設備，它可以檢測出發動機是否壞了，即給出發動機發生故障的具體信息。但是，這個問題中的基礎概率卻并不像出租車問題中的基礎概率那樣和我們的判斷離得很遠，而是很容易被看作與個體（那兩個發動機）相關，并由此得出發動機A的性能比發動機B差很多的結論。這會極大地影響人們的判斷，即基礎概率在這個問題中扮演著很重要的角色。這個實驗結果也就很好地證明了巴希勒關于基礎概率的“相關性”解釋。

3.卡尼曼和特維爾斯基的辯護：因果基礎概率和偶然基礎概率

巴希勒的實驗結果表明，基礎概率并不總是會被忽略掉。但是，根據卡尼曼和特維爾斯基的代表性啟發策略，人們在判斷的時候會一致地忽略掉基礎概率。這就使得卡尼曼和特維爾斯基的代表性啟發策略解釋遭遇了困境，即它無法解釋為什么有些時候人們并不會完全忽略基礎概率。在代表性啟發策略提出來的數年之后，特維爾斯基和卡尼曼在借鑒阿耶仁（Ajzen）等人研究成果的基礎上，又提出了一種新的理論，來對其之前的理論進行辯護和改進。[5]

他們認為，基礎概率其實可以分為兩種，一種是因果基礎概率（causal base rate），另一種是偶然基礎概率（incidental base rate）。如果一個基礎概率存在一個因果因子來解釋為什么某個特殊情況更有可能產生這種結果而不是其他結果的話，那么，這個基礎概率就是因果基礎概率；否則，就是偶然基礎概率。對于這兩者之間的區別，我們通過下述兩個例子來說明。

在一項研究中，被試需要根據某個學生的簡要能力描述來判斷其通過某項考試的概率。該問題如下：

兩年前，在耶魯大學某門課程的一次期末考試中，大約75%的學生沒有通過（或通過了）該考試。……

這個描述中的基礎概率就是因果性的，因為它可以直接導致如下結論：這次考試比較難（如果75%的學生都沒有通過考試）或這次考試比較簡單（如果75%的學生都通過了考試）。而考試的難度也使得那些參加考試的學生似乎不太容易（或比較容易）通過這個考試。

對于偶然基礎概率，我們可以看看下面這個例子：

兩年前，耶魯大學進行了某門課程的期末考試。一個對學生的學習成績感興趣的教育心理學家對參加這次考試的大量學生進行了訪談。由于他主要關心的是學生對于成功（或失敗）的反應，所以，他選擇的學生大多都是通過了（或沒有通過）這門考試的。特別地，在他選取的樣本中，大概有75%的學生通過了（或沒有通過）此次考試。

這里的基礎概率就是偶然的（或非因果的），因為樣本中通過考試和沒有通過考試的學生比例是由調查者隨機選取的。和因果基礎概率不一樣的是，人們無法由此做出任何關于這項考試難易程度的判斷。

阿耶仁的研究結果表明，在人們的主觀概率判斷中，因果基礎概率比偶然基礎概率所起的作用要大得多。[6]比如，在這個“考試問題”中，通過率是一個很重要的因果基礎概率，它可以告知人們此次考試的難易程度，從而影響人們關于某個學生是否能通過此次考試的主觀判斷概率。

卡尼曼和特維爾斯基認為，人們在進行主觀概率判斷的時候所忽略掉的主要是偶然基礎概率，而因果基礎概率卻不太容易被忽略掉，相反，它們卻極大地影響著人們的判斷。比如，出租車問題中的基礎概率就是偶然基礎概率，因而其在人們進行概率判斷的時候會被忽略掉；而如果我們把該問題中的偶然基礎概率換成因果基礎概率，即把“藍車公司的出租車數量占15%，綠車公司的出租車數量占85%”換成“盡管這兩個出租車公司所占據的市場份額差不多，但是，這個城市中85%的出租車事故都是由綠車造成的，而藍車造成的事故只占15%”之后，人們在進行主觀概率判斷的時候，就不會像之前那樣對基礎概率視而不見了。他們的實驗結果表明，盡管人們對于修改后的這個問題的答案多種多樣，但答案的中值是0.6，居于目擊證人的準確率0.8和貝葉斯定理所給的答案0.41之間。[5]

對于上述結果，卡尼曼和特維爾斯基的解釋是，兩個出租車公司之前的事故率（即基礎概率）相對于人們的概率判斷來說是因果基礎概率，這兩個出租車公司事故率的不同直接導致判斷者認為，和藍車公司的司機相比，綠車公司的司機更加地魯莽、粗心或者駕駛技術更差。因此，從這兩種不同的事故基礎概率就可以推出綠車比藍車更有可能是這次事故的肇事者。相反，之前那個版本中的基礎概率是關于藍車和綠車的市場份額的，這是一個偶然基礎概率，它并不能導致一個因果推論，使得某一輛綠車比某一輛藍車更有可能涉及到此次事故中。[5]

根據分析可知，對于偶然基礎概率來說，出租車的顏色和事故之間的聯系是0；但對于因果基礎概率來說，出租車的顏色和事故之間的聯系卻變成了0.7。[5]這種統計事實表明了這兩種基礎概率之間的區別，并且幫助我們理解了為什么因果基礎概率沒有被忽略，而偶然基礎概率卻被忽略了。

三、基礎概率謬誤真的是“謬誤”嗎？

基礎概率謬誤在決策理論的發展史上起著非常重要的作用，它引起了人們對于規范性決策理論的反思，并重新思考貝葉斯定理在決策中的作用。不過，基礎概率謬誤真的是謬誤嗎？人的大腦生來就不具有進行貝葉斯推理的功能嗎？回答是否定的。下面我們來看一個修改后的出租車問題。

一個傍晚，一輛出租車肇事后逃逸。這個城市里有兩個出租車公司，根據他們所經營的出租車的顏色，我們稱其為藍車公司和綠車公司。其中，藍車公司的出租車數量占15%，綠車公司的出租車數量占85%。警察局通過調查發現，事發地點離藍車公司的總部比較近，在事發地點附近區域，80%的出租車都是藍車，只有20%的出租車是綠車。那么，你認為，該肇事車輛是藍車的概率是多少？[4]

實驗結果表明，此時，大多數（約60%）的被試者會認為，肇事車輛是藍車的概率是80%。并且，這樣的結果在類似的其他實驗中也得到了驗證。[4]

這個結果說明了什么呢？我們先來分析一下這個問題。這個修改后的出租車問題和之前那個問題的不同之處在于，它用一個精算信息來代替了目擊者的證詞，而這個精算信息比基礎概率要更具體一些。因此，正如我們所期望的那樣，它就控制和支配了那個更加一般的基礎概率。但需要注意的是，這個問題中的精算信息和目擊者的證詞之間不能劃等號，因為這個精算信息并沒有直接告訴我們肇事車輛是藍車還是綠車。因此，這個精算信息其實也只能算是一般信息，只是比基礎概率信息更加具體一些。如果把基礎概率稱為第一基礎概率的話，那么，精算信息可以稱為第二基礎概率。我們可以用下表來表示：

這個結果表明，人們在判斷的時候，并不是如之前所說的那樣，一味地忽略基礎概率，他們所忽略的只是第一基礎概率。而在這個問題里，人們對于第一基礎概率的忽略，我們似乎并不會覺得這是一個“謬誤”，反而認為其的確應該被忽略。其原因在于，雖然在整個城市中的出租車市場份額是藍車15%、綠車85%，但是，它們與我們目前所要探討的問題關系已經不大了或不太相關了。在這個問題中，第二基礎概率才是與我們的判斷直接相關的。因此，人們在進行判斷的時候，實際上是重新選擇了基礎概率。

為什么要重新選擇基礎概率呢？其實，這就是一個參考系問題。參考系的選擇對于問題的解決至關重要。在我們進行判斷的時候，應該選擇那些與我們需要解答的問題直接相關的參考系。一般說來，參考系越小，與所要解決的問題就越相關，參考系中的元素所具有的共同特點也就越多，最后得出來的答案也就越精確。比如，我們頭痛發燒流鼻涕的時候去醫院看病，醫生讓我們做一個血液檢查，以確定我們是否患病毒性感冒。作為一個個體，我們對自身的情況很了解，我自己是否生病或者病痛程度如何，我是非常清楚的。此時，我不再需要把我放在一個很大的參考系，比如“全國人民”或“全世界人民”中去考察我是否患有病毒性感冒，而只需要把我放在一個較小的參考系，比如“有頭痛發燒流鼻涕這些癥狀的人群”中考察即可。這就縮小了參考系。當然，我們也不能一味地認為，參考系越小越好。如果參考系過小，就不具有參考作用了。不過，參考系的選擇是一個很復雜的問題，我們在此不做深入討論。但是，在上述的出租車問題中，把事故周邊的出租車集合作為參考系，肯定比用整個城市的出租車集合作為參考系要好。否則，我們可以任意擴大參考系，比如，把全國的出租車集合作為參考系。這個參考系中所給出的基礎概率顯然與問題的相關性微乎其微。

這個例子清楚地表明，基礎概率謬誤并不是謬誤：在某些時候，忽略掉第一基礎概率是非常恰當的。科恩（Cohen）在論述基礎概率的相關性時也認為，“基礎概率數據應該被忽略，除非已經知道那些我們所關注的問題與導致基礎概率的參考系‘具有所有相關特征’”。[7]相反，貝葉斯定理在處理這些問題的時候，卻顯示出了它的局限性。正如挪威姆斯基所說的那樣，“貝葉斯規則并沒有準確地描述人們在工程師—律師問題中是如何使用基礎概率信息的。”[8]

通過上述論述，我們可以做出如下結論：（1）人們在判斷的時候，并不是一味地忽略基礎概率；（2）忽略基礎概率并不等于“謬誤”。與問題不太相關的基礎概率可以被忽略，甚至應該被忽略。因此，我們最好改“基礎概率謬誤”為“基礎概率忽略”。

四、小結

對不確定性事件進行主觀概率判斷是認知決策領域一個重要研究課題。多年以來，貝葉斯主義者一直致力于用貝葉斯定理來提高人們預測的準確性。那些致力于用貝葉斯方法來整合信息的學者都自信地認為，“主觀修正原則必然是貝葉斯定理。”[9][10]的確，通過對基礎概率和貝葉斯方法的研究，有時可以提高人們預測的準確性，但是，在許多現實決策環境下，這個方案并不有效。卡尼曼和特維爾斯基的啟發式方法，特別是支持理論的提出就明確指出了貝葉斯方案的局限性。[11]他們的研究結果表明，人類并不是笨拙的貝葉斯主義者，而是非貝葉斯主義者。我們在解決人們的主觀概率判斷問題時，首先需要弄清楚的問題是：不確定性是如何由多種信息來構成的？事實上，不確定性的構成方式有很多。在某些情況下，貝葉斯模型的確提供了一種解決方案，但其解決方案并不是對所有的情況都適用。基礎概率忽略就是一個很好的例證。而且，對基礎概率的忽略并不像貝葉斯定理信奉者所想象的那么糟糕，相反，在有些情況下這還是一件好事。正如巴希勒所說的那樣，“我們應該記住一點，在人類的判斷活動中，并不是信息越多就越好。”[4]

參考文獻：

[1] Daniel Kahneman Amos Tversky. （1972）. \"On Prediction and Judgment\". Oregon Research Institute Bulletin 12（4）.

[2] Daniel Kahneman Amos Tversky. （1973）. \"On the psychology of prediction\". Psychological Review 80 ： 237-251.

[3] Amos Tversky Daniel Kahneman. （1974）. \"Judgment under Uncertainty： Heuristics and Biases\". Science， New Series， 185（4157）： 1124-1131.

[4]Maya Bar-Hillel. （1980）. \"The Base-Rate Fallacy in Probability Judgments\". Acta Psychologica 44： 211-233.

[5]Amos Tversky Daniel Kahneman. （1982）. \"Evidential Impact of Base Rates\"， in Judgment Under Uncertainty： Heuristics and Biases， Kahneman， Paul Slovic， and Tversky， editors （1982）， Cambridge University Press： 153-160.

[6] Icek Ajzen.（1977）. \"Intuitive Theories of Events and the Effects of Base-Rate Information on Prediction\". Journal of Personality and Social Psychology， 35（5）： 303-314.

[7] L. Jonathan Cohen. （1981）. \"Can Human Irrationality be Experimentally Demonstrated？\". The Behavioral and Brain Sciences， 4： 317-370.

[8] Nathan Novemsky Shirit Kronzon. （1999）. \"How are Base-Rates Used， When They are Used - A Comparison of Additive and Bayesian Models of Base-Rate Use\". Journal of Behavioral Decision Making， 12： 55-69.

[9] Lee R. Beach. （1966）. \"Accuracy and Consistency in the Revision of Subjective Probabilities\". IEEE Transactions on Human Factors in Electronics 7： 29-37.

[10] David W. Schum David W. Martin. （1968）. \"Human Processing of inconclusive evidence from multinomial probability distributions\". Organizational Behavior and Human Performance 3： 353-365.

[11] 李章呂.支持理論對標準概率理論的超越和發展——邏輯與認知研究的新視角[J].學術論壇，2010，（8）.