時變不確定切換廣義系統(tǒng)的魯棒最優(yōu)保性能控制

摘要：針對一類時變參數(shù)不確定切換廣義系統(tǒng)，對其魯棒最優(yōu)保性能控制問題進(jìn)行研究，假定其中的時變不確定性項是范數(shù)有界的，但不需要滿足匹配條件。通過構(gòu)造廣義Lyapunov函數(shù)和線性矩陣不等式方法，給出系統(tǒng)魯棒最優(yōu)保性能控制器存在的充分條件。進(jìn)一步，建立一個具有線性矩陣不等式約束的凸優(yōu)化問題，得到魯棒最優(yōu)保性能控制律及閉環(huán)性能指標(biāo)上界。最后用示例說明該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：切換廣義系統(tǒng)；時變不確定性；魯棒最優(yōu)保性能控制；線性矩陣不等式

中圖分類號：TP13文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

1引言

混雜系統(tǒng)是很多實際系統(tǒng)的抽象，主要用于對復(fù)雜大系統(tǒng)的描述、分析及控制。切換系統(tǒng)是由一組子系統(tǒng)和描述它們之間聯(lián)系的切換規(guī)則組成。每個子系統(tǒng)對應(yīng)著離散變量的一種取值，子系統(tǒng)之間的切換表示離散事件動態(tài)。切換系統(tǒng)是從控制科學(xué)的角度來研究混雜系統(tǒng)的一類重要模型，是目前混雜系統(tǒng)理論研究的一個國際前沿方向[1-10]。廣義系統(tǒng)是一類更一般化，有著較強(qiáng)應(yīng)用背景的動力系統(tǒng)，它廣泛存在于許多實際的系統(tǒng)模型中，如電力電子系統(tǒng)、能源系統(tǒng)、航天工程、化學(xué)反應(yīng)過程、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、社會系統(tǒng)和生物系統(tǒng)等。廣義系統(tǒng)是二十世紀(jì)七十年代Rosenbrock在研究復(fù)雜的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中首次提出的[11]，進(jìn)入八十年代后，廣義系統(tǒng)研究進(jìn)入到一個蓬勃發(fā)展的階段，特別是關(guān)于廣義系統(tǒng)穩(wěn)定性、能控性、能觀性、最優(yōu)控制、輸出調(diào)節(jié)等問題的研究，取得了許多重要成果[12-17]。

在工程實際控制問題中往往存在很多不確定性。為了達(dá)到滿意的控制效果，不僅要使控制系統(tǒng)具有好的穩(wěn)態(tài)性能，同時也要使控制系統(tǒng)的動態(tài)性能滿足一定的要求。不確定系統(tǒng)保性能控制的目的是對不確定系統(tǒng)設(shè)計一個控制器，使得其閉環(huán)系統(tǒng)不僅是穩(wěn)定的，而且相應(yīng)的性能指標(biāo)不超過某個確定的上界[18-19]。由于廣義系統(tǒng)的切換問題普遍存在于供電網(wǎng)絡(luò)以及經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，故研究切換線性廣義系統(tǒng)的動態(tài)行為及控制器設(shè)計也具有非常重要的理論和實際意義。但由于切換廣義系統(tǒng)存在正則性、脈沖模去除、切換時刻狀態(tài)相容等問題，故它比正常狀態(tài)切換系統(tǒng)的研究要復(fù)雜。因此，最近，雖然在對切換廣義系統(tǒng)控制研究方面獲得了一些基本成果，但關(guān)于切換廣義系統(tǒng)的保性能控制方面的研究尚不多見[20-26]。文獻(xiàn)[23]對離散切換廣義系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性問題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[24]利用多Lyapunov 函數(shù)研究了一類帶有時滯的不確定切換廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，但結(jié)論中含有等式約束，不便于應(yīng)用。文獻(xiàn)[25]利用Lyapunov穩(wěn)定性理論研究了一類切換廣義系統(tǒng)的保性能控制問題。文獻(xiàn)[26]利用Lyapunov函數(shù)方法和凸組合技術(shù)，研究了一類切換時滯廣義系統(tǒng)的最優(yōu)保成本控制問題。但文獻(xiàn)[25，26]都沒有考慮不確定性。

本文針對一類時變參數(shù)不確定切換廣義系統(tǒng)，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式方法，研究了其魯棒最優(yōu)保性能控制問題。給出了系統(tǒng)魯棒最優(yōu)保性能控制器存在的充分條件，并建立了一個具有線性矩陣不等式約束的凸優(yōu)化問題，通過求解該凸優(yōu)化問題得到了魯棒最優(yōu)保性能控制律及閉環(huán)性能指標(biāo)上界。

2問題描述

考慮由以下狀態(tài)方程描述的一類時變參數(shù)不確定切換廣義系統(tǒng)：

不等式（9）是關(guān)于變量ε、Wi和X的一個線性矩陣不等式，因此可以應(yīng)用LMI工具箱中的求解器feasp來判斷該矩陣不等式的可行性問題，進(jìn)而得到該線性矩陣不等式的可行解。式（10）用線性矩陣不等式（9）的可行解給出了保性能控制律的一個參數(shù)化表示。式（11）給出的系統(tǒng)性能指標(biāo)上界依賴于線性矩陣不等式（10）的可行解和初始條件x10，不同的可行解導(dǎo)出性能指標(biāo)上界，但系統(tǒng)的最小性能指標(biāo)上界是刻畫系統(tǒng)性能的一個有意義的指標(biāo)。

以下的定理3給出了閉環(huán)系統(tǒng)最小性能指標(biāo)上界和魯棒最優(yōu)保性能控制問題的解。

5結(jié)論

時變不確定性大量存在與實際控制問題中，并且往往是導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定和性能下降的主要原因，因此對時變不確定切換廣義系統(tǒng)的研究具有一定的意義。本文利用Lyapunov函數(shù)方法和線性矩陣不等式技術(shù)，研究了一類時變不確定切換廣義系統(tǒng)的魯棒最優(yōu)保性能控制問題，給出了最優(yōu)保性能控制器存在的充分條件，通過求解一個凸優(yōu)化問題得到了控制器的參數(shù)化表示。仿真示例說明了本文方法的有效性。