排列組合應(yīng)用題的解題技巧剖析

排列組合應(yīng)用題是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)難點，由于它聯(lián)系實際、生動有趣，一直受到各省高考命題組的青睞。排列組合的應(yīng)用題變化多樣，這就要求學(xué)生解題思路必須靈活，而能幫助學(xué)生解題的理論，除了兩個基本原理（分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理）外，并無現(xiàn)成的統(tǒng)一方法可套用。本文就該問題進(jìn)行歸納與分析，以期能對學(xué)習(xí)者有所啟示。

一、畫格子法

這是排列組合問題中一種最基本、最常用的方法，絕大多數(shù)問題都可用這種方法解決。這種畫格子的方法實際上就是分步計數(shù)原理。

例1.由數(shù)字0，1，2，3，4可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)？

分析：由于是5位數(shù)，故可畫5個連續(xù)的格子來代替這個數(shù)字。解題時一般要求從最高的位置開始考慮，如本題所要求的是個5位數(shù)，因此該數(shù)的萬位必須非零，這就意味著最左邊的格子（萬位）內(nèi)所填數(shù)字可以有4種選擇（如：1，2，3，4），故可在最左邊的格子內(nèi)填上4。對于第二個格子，由于第一個格子已經(jīng)用了一個數(shù)字，而題目要求數(shù)字無重復(fù)，故該格子（千位）內(nèi)所填數(shù)字可以有4種選擇，可在該格子內(nèi)填上4。同理，第三個格子填3，第四個格子填2，第五個格子填1。按分步計數(shù)原理可知，本題所求數(shù)字的個數(shù)為：n=4×4×3×2×1=96。

二、相鄰問題捆綁法

某些排列組合問題中，要求某些元素必須相鄰，對于這類問題，解題的常用方法是：將相鄰元素“捆綁”起來看作一個大元素，然后再與其他元素“重新”排列或組合，從而達(dá)到求解目的。

例2.有5部各不相同的手機參加展覽，排成一行，其中有2部手機來自同一廠家，則此2部手機恰好相鄰的排法有多少種？

分析：由于這2部手機必須相鄰，所以將這兩個元素“捆綁”在一起看作一個大元素，則本題就看作是4臺手機的排列問題了。“捆綁”的時候有A22種方法，4臺手機有A36種方法，故此題的排法有A22·A44=48種。

三、相離問題插空法

某些排列組合問題中，要求某些元素互不相鄰，對于這類問題，解題的常用方法是：先排好沒有限制條件的元素，然后將這些要求不相鄰的幾個元素插入上述元素的空當(dāng)和兩端。

例3.聯(lián)歡會上要演出3個歌唱節(jié)目和5個舞蹈節(jié)目，如果歌唱節(jié)目不能連排，那么有幾種排節(jié)目的方法？

四、分組問題分步法

例4.四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，恰有一個空盒的放法有多少種？

五、交叉問題集合法

某些排列組合問題中，符合各個條件的部分有交集，對于這類問題，解題的常用方法是：借用求集合元素個數(shù)的公式：card（A∪B）=cardA+cardB-card（A∩B），然后依題意把這個card（A∪B）減去即可。

例5.學(xué)校從10名學(xué)生禮儀隊員中選6人列隊參加校門口的值日，其中甲要求不站第一，乙要求不站最后，請問共有多少種不同的站法？

分析：從10名學(xué)生禮儀隊員中選6人列隊，在沒有任何約束條件下的站法有A610種。不妨設(shè)A=｛甲站第一｝，B=｛乙站最后｝，則A∪B=｛甲站第一或乙站最后｝，card（A∪B）=A59+A59-A48種。故符合題意的站法有A610-（A59+A59-A48）=122640種。

六、定序問題縮倍法

某些排列組合問題中，要求某些元素必須有一定的順序，對于這類問題，解題的常用方法是縮倍法。即先求出所有元素的全排列，然后除以各受約束元素的全排列。

例6.現(xiàn)有3個紅球、2個黃球、3個白球，各個球除了顏色之外無任何差別，將這8個球排成一排，共有多少種排法？

七、定位問題優(yōu)選法

某些排列組合問題中，要求某些元素需要排在特定位置，對于這類問題，解題的常用方法是優(yōu)選法。即優(yōu)先排下這個（這些）特殊元素，然后再排其他元素。

例7.2名指導(dǎo)老師與6名競賽獲獎學(xué)生照相留念，若指導(dǎo)老師不站在兩端，則共有多少種不同的排法？

分析：2名老師與6名學(xué)生共8人照相，由于老師受位置的條件約束，故在除兩端外的6個位置中優(yōu)先排老師有A26種排法，然后剩下的6個位置中排學(xué)生有A66種排法，因此本題共有A26·A66=21600種排法。

本文就排列組合應(yīng)用題進(jìn)行歸納與分析，從7個方面為學(xué)習(xí)者展示了解題技巧，但應(yīng)注意的是，這些解題技巧并非彼此獨立的，要解決某一問題，有可能要同時運用到上述多種技巧來處理。因此，要熟練掌握該問題，還是應(yīng)該以練為主，練習(xí)得來的經(jīng)驗永遠(yuǎn)是比背題型、背方法來得牢固。

（作者單位 廣東省佛山市財經(jīng)學(xué)校）