探究高職數(shù)學中幾種不等式的證明方法

【摘 要】高職數(shù)學中的復雜公式和繁瑣計算是人們對它的最初印象，其實，如果對高職數(shù)學進行細致總結(jié)和歸納就會發(fā)現(xiàn)，它是有章可循的，是有規(guī)律的。下面筆者通過近年來的教學經(jīng)驗，通過一些具體的例子來對高職數(shù)學中的不等式的證明方法進行探究，與大家分享。

【關鍵詞】高職數(shù)學；不等式；證明方法

高職數(shù)學中不等式的內(nèi)容占有舉足輕重的地位，涉及到很多重要的解題方法和技巧。在一年一度的研究生的考試中，不等式的證明也是其常考考點。下面筆者通過近年來的教學經(jīng)驗，通過一些具體的例子來對高職數(shù)學中的不等式的證明方法進行探究，與大家分享。

1.利用函數(shù)的單調(diào)性

常見方法：輔助函數(shù)構造→判定函數(shù)的單調(diào)性→獲得所證明的不等式。

依據(jù)：若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增？圯f（a）

若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減？圯f（b）

【實例1】函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在區(qū)間（0，1）內(nèi)可導，f（0）=0， 0≤f'（x）≤1。求證：■f（x）dx ■≥■f■（x）dx。

證明：令F（x）=■f（x）dx ■-■f■（x）dx（0

F'（x）=f（x）2■f（x）dx-f■（x）

令G（x）=2■f（x）dx-f■（x），則G'（x）=2■f（x）dx-f■（x）'=2f（x）[1-f'（x）]≥0，故G（x）≥G（0）=0，所以2■f（x）dx-f■（x）≥0，由條件f（x）≥0，∴F'（x）≥0，F(xiàn)（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)不減，得F（1）≥F（0）=0，即■f（x）dx ■≥■f■（x）dx。

2.利用中值定理

常見方法：輔助函數(shù)構造→依據(jù)拉格朗日中值定理得等式→由ξ的范圍獲得所證不等式。

【實例2】設e■（b-a）

證明：令f（x）=ln2x，在區(qū)間[a，b]上用拉格朗日中值定理，得■=f'（ξ），即■=2·■ ξ∈（a，b）？奐（e，e2），再令g（x）=■（eg（e2）=■，從而2·■>■

即原不等式成立。

3.利用最值證明不等式（含≥或≤號）

常見方法：輔助函數(shù)構造→求出其最大（小）值→獲得所證明不等式。

依據(jù)：若f（a）為函數(shù)f（x）在I上的最大值？圯f（x）≤f（a）；

若f（b）為函數(shù)f（x）在I上的最小值？圯f（x）≥f（b）。

【實例3】證明：當x>0時，（x2-1）lnx≥（x-1）2。

證明：令f（x）=（x2-1）lnx-（x-1）2，則f（1）=0，f'（x）=2xlnx-x+2-■，f'（1）=0，f''（x）=2lnx+1+■，f''（1）=2>0。∴x=1為極小值點，但不能斷定它是最小值點。

又f'''（x）=■，∴f'''（x）=<0， 00， x>1∴x=1為 的最小值點，f''（x）≥f''（1）=2>0。∴f'（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又f'（1）=0，∴f'（x）在x=1由負變正，故x=1為函數(shù)f（x）的最小值點，f（x）≥f（0）=0，即（x2-1）lnx≥（x-1）2■

【參考文獻】

[1]劉繼合.簡析高等數(shù)學結(jié)構與化歸[J].聊城師范學院學報（自然科學版），1999，12（3）.

[2]姜啟源.數(shù)學建模.北京：高等教育出版社，2002：110～120.