淺談數列求和

【摘 要】本文筆者結合高中數學教學難點和高考中的難點，詳細介紹了數列求和的常用方法：公式法、乘比錯位相減法、分組求和法、倒序相加法和倒序相乘法、裂項相消法、數學歸納法、待定系數法等。

【關鍵詞】數列求和 常用方法 高考難點 高考教學

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2012）24-0149-01

數列求和是高中數學的一個重點，也是高考的難點，縱觀山西省近幾年高考數學的最后一題，都是數列與函數、不等式、解析幾何、立體幾何、導數、三角、向量、二項式等知識聯系在一起，以它的復雜多變、綜合性強、解法靈活等特征成為高考的壓軸題，因此搞好數列求和的學習是非常重要的，經過整理，常見的數列求和的方法有四種：

一 常用公式法

直接利用公式求和是數列求和最基本的方法。常用的數列求和公式有：

Sn= =na1+ d （ 為等差數列）

Sn= = （q≠1）或sn=na1（q=1）

（ 為等比數列）

二 乘比錯位相減法

對于數列 ，若an=bn·cn且數列 、 分別是等

差數列、等比數列時，求該數列 前n項和時，可用該方法。

例1：求和Sn= + + + +… 。

設an= =n· ，其中 為等差數列， 為等比數

列，公比為 ，利用錯位相減法求和。

兩端同乘以 ，再兩式相減得：Sn=2- - 。

說明：乘比錯位相減法實際上是把一個數列求和問題轉化為等比數列求和的問題。

三 分組求和法

對于數列 ，若an=bn± 且數列 、 …都能

求出其前n項的和，則在求 前n項和時，可采用該法。

例2：求和Sn=0.9+0.99+0.999+0.9999+… 。

解：設an= =1-10-n

Sn=a1+a2+a3+a4+…+an

=n- （1-10-n）

四 倒序相加法和倒序相乘法

1.倒序相加法

在教材上推導等差數列 前n項和Sn的公式：Sn=

使用的就是該法，推導過程參看教材。

例3：求和S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°。

解：S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289° （1）

S=cos21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289° （2）

由（1）+（2）得：S= 。

例4：求和Sn= +2 +3 +…n 。

解析：據組合數性質 = ，將Sn倒序寫為：Sn=n +（n-1） + 。

以上兩式相加得：2Sn=n（ + + +…+ + ）=n·2n。

因此，Sn=n·2n-1。

2.倒序相乘法

例5：已知a、b為兩個不相等的正數，在a、b之間插入n個正數，使它們構成以a為首項，b為末項的等比數列，求插入的這n個正數的積pn。

解：設插入的這n個正數為a1、a2、a3…an，且數列a1、a2、a3…an、b成等比數列。

則：ab=a1·an=a2·an-1=…

∵ pn=a1·a2·a3…an （3）

又pn=an·an-1·an-1…a1 （4）

由（3）×（4）得： =（a1an）（a2 an-1）…（an a1）（ab）n。

因此， 。

〔責任編輯：李繼孔〕