《素?cái)?shù)和合數(shù)》教學(xué)實(shí)錄

【名師檔案】

陸麗萍，溧陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校副校長(zhǎng)。中學(xué)高級(jí)教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師，江蘇省第二批人民教育家培養(yǎng)對(duì)象，江蘇省優(yōu)秀教育工作者，常州市中小學(xué)名教師工作室領(lǐng)銜人。出版專著（編著）2本，在國(guó)家級(jí)、省級(jí)刊物發(fā)表論文100多篇，先后應(yīng)邀到青海、山西、福建、四川、河南、南京、蘇州等省市上公開(kāi)課、作講座多次。

教學(xué)內(nèi)容：《素?cái)?shù)和合數(shù)》（蘇教版四年級(jí)下冊(cè)）

教學(xué)時(shí)間：2012年3月24日

教學(xué)場(chǎng)合：“三晉之春”全國(guó)名師小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)觀摩活動(dòng)

教學(xué)地點(diǎn)：山西省小學(xué)教師培訓(xùn)中心大禮堂

教學(xué)班級(jí)：山西太原市興華小學(xué)四（2）班

一、激活問(wèn)題意識(shí)，喚醒探究欲望

1.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

師：請(qǐng)大家嘗試著從12個(gè)小正方形里拿出幾個(gè)來(lái)，拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形。

生：我拿出了12個(gè)小正方形，拼成的是6×2型的長(zhǎng)方形。（見(jiàn)下圖1）

師：還有誰(shuí)是用了12個(gè)小正方形拼的？

生：我也拿出了12個(gè)小正方形，拼成的是12×1型的長(zhǎng)方形。（見(jiàn)下圖1）

生：我也是拿出了12個(gè)小正方形，拼成的是4×3型的長(zhǎng)方形。（見(jiàn)下圖1）

師：12個(gè)小正方形還能拼成其他形狀的長(zhǎng)方形嗎？

生：不能，12個(gè)小正方形拼成長(zhǎng)方形只有這三種。

師：其他同學(xué)又是用了幾個(gè)小正方形拼的呢？

生：我拿出了8個(gè)小正方形拼成的長(zhǎng)方形有兩種，一種是4×2型，另一種是8×1型的長(zhǎng)方形。（見(jiàn)下圖2）

生：我拿出了7個(gè)小正方形，只能拼成一種，是7×1型的長(zhǎng)方形。（見(jiàn)下圖3）

生：我拿了11個(gè)小正方形，也只能拼成一種，是11×1型的長(zhǎng)方形。

2.激活問(wèn)題意識(shí)

師：我們同樣都是拿了一些小正方形去拼長(zhǎng)方形，為什么有的可以拼成幾種不同的長(zhǎng)方形？有的卻只能拼成一種長(zhǎng)方形？

生：拿的個(gè)數(shù)不同，拼成的長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)就會(huì)不同。

師：怎么個(gè)不同？

生：我感覺(jué)拼成的長(zhǎng)方形與拿出小正方形個(gè)數(shù)的因數(shù)有關(guān)。

生：對(duì)的，12它有1，2，3，4，6，12六個(gè)因數(shù)，能拼成3種；11只有1和11兩個(gè)因數(shù)，只能拼成一種。

師：那我們就根據(jù)這些數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)情況繼續(xù)來(lái)研究。

二、引導(dǎo)探究發(fā)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)意義建構(gòu)

1.觀察比較，嘗試分類(lèi)

師：請(qǐng)先寫(xiě)出1～20各自然數(shù)的所有因數(shù)，再觀察與思考。（學(xué)生填寫(xiě)下表）

師：我們可以看到，以上各個(gè)自然數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)都不盡相同，如果請(qǐng)你從一個(gè)數(shù)所含因數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)分類(lèi)的話，你打算分為哪幾種情況？

生1：我分了許多類(lèi)，按照有幾個(gè)因數(shù)就分為幾類(lèi)，于是就分成了只含有1個(gè)因數(shù)的為一類(lèi)，只含有兩個(gè)因數(shù)的分為一類(lèi)，含有3個(gè)的分為一類(lèi)，含有4個(gè)的分為一類(lèi)……；

生2：我打算分為兩類(lèi)，只含有1個(gè)因數(shù)的分為一類(lèi)，含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的分為一類(lèi)；

生3：我是分為三類(lèi)，只有一個(gè)因數(shù)的1單獨(dú)為一類(lèi)，只含有兩個(gè)因數(shù)的一類(lèi)，含有3個(gè)或3個(gè)以上因數(shù)的分為一類(lèi)。

師：剛才大家發(fā)表了各自的想法，請(qǐng)大家比較：以上三種不同的分類(lèi)方法哪一種是比較合理的？為什么？

生：我覺(jué)得生1的方法有點(diǎn)欠妥，因?yàn)檎者@樣，不知要分為多少類(lèi)，這樣就不簡(jiǎn)單了，分類(lèi)就是要變得更簡(jiǎn)潔些。

生：我也覺(jué)得生1的方法不妥，我比較喜歡生3的分法。

生：生2的方法也是可以的，這樣就把自然數(shù)分為兩類(lèi)。

生：我認(rèn)為生3的方法更合理，簡(jiǎn)單把自然數(shù)分為1和其他自然數(shù)，其他里面的自然數(shù)太多了，沒(méi)有分得更清楚些。

（大多數(shù)學(xué)生紛紛點(diǎn)頭，認(rèn)為生3的分法更合理。）

教師指出：古代的數(shù)學(xué)家也像我們同學(xué)一樣，在經(jīng)歷了多次的分類(lèi)嘗試研究之后，決定將以上自然數(shù)分為三類(lèi)。

2.引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，意義建構(gòu)

師：請(qǐng)大家繼續(xù)深入觀察以上各類(lèi)自然數(shù)的因數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么？

生：像第二類(lèi)2、3、5、7、11、13、17、19的這些數(shù)，它們的因數(shù)只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)。第三類(lèi)數(shù)至少含有3個(gè)因數(shù)，有的有4個(gè)、有的有5個(gè)，有的更多。

生：我知道，像這類(lèi)（指著第二類(lèi)）數(shù)叫素?cái)?shù)，第三類(lèi)數(shù)叫合數(shù)。

師：對(duì)，我們把像第二類(lèi)數(shù)，它們只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)叫做素?cái)?shù)，也叫質(zhì)數(shù)。而像4、6、8、9、10、12、14、15等的數(shù)，它們除了含有1和它本身兩個(gè)因數(shù)之外，還含有其它的因數(shù)，我們把這類(lèi)數(shù)叫做合數(shù)。

師：請(qǐng)大家從1～20中，自己任意選擇一個(gè)數(shù)說(shuō)一說(shuō)它是素?cái)?shù)還是合數(shù)。并說(shuō)一說(shuō)為什么？（學(xué)生舉例說(shuō)明）

生：老師，1到底是什么數(shù)？

師：你們認(rèn)為呢？

生：1既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)。

師：請(qǐng)大家討論“1為什么既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)？素?cái)?shù)與合數(shù)有什么區(qū)別？”

生：1的因數(shù)就是它本身，只有一個(gè)因數(shù)，所以它既不是素?cái)?shù)，也不是合數(shù)。

生：素?cái)?shù)和合數(shù)的區(qū)別主要看因數(shù)的個(gè)數(shù)。

3.判斷內(nèi)化，變式強(qiáng)化

師：請(qǐng)獨(dú)立判斷下面這些數(shù)哪些是素?cái)?shù)，哪些是合數(shù)？并說(shuō)一說(shuō)你判斷的方法。

15 40 13 28 21 19 77 111

生1：我認(rèn)為15、40、28、21、77、111都是合數(shù)，其余的是素?cái)?shù)，我判斷的方法是一個(gè)一個(gè)找出各數(shù)所有的因數(shù)。

生2：我同意他的結(jié)果，不過(guò)我是用能被2、3、5整除的數(shù)的特征來(lái)判斷它們除了含有1和它本身外是否還有2、3或5。

師：（面對(duì)生2）請(qǐng)你舉例說(shuō)一說(shuō)你的方法？

生：比如說(shuō)，40除了1和40兩個(gè)因數(shù)，它還有2、5，所以肯定不止兩個(gè)因數(shù)，所以40就是合數(shù)。比如，111的因數(shù)，除了1和111兩個(gè)外，至少還能被3整除，所以它也是合數(shù)。

師：（指著生1）你覺(jué)得唐詩(shī)杭的方法怎么樣？

生1：唐詩(shī)杭的方法比我的更簡(jiǎn)單。

師：我們既可以用一一列舉找出所有因數(shù)來(lái)判斷，也可以用能被2、3或5整除的數(shù)的特征來(lái)巧判。

三、經(jīng)歷研究過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)文化

1.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題沖突

師：你能很快獨(dú)立判斷下面各數(shù)哪些是素?cái)?shù)，哪些是合數(shù)嗎？

22 49 80 29 91 89 73

生：我認(rèn)為22、49、80是合數(shù)，其余的是素?cái)?shù)。

生：我覺(jué)得22、49、80、89是合數(shù)。

生：我看22、49、80、73是合數(shù)。

（此時(shí)，在判斷91、89、73時(shí)會(huì)有學(xué)生有困難，一時(shí)很難有把握。）

師：看來(lái)，這些數(shù)到底是素?cái)?shù)還是合數(shù)真有些難判斷。別急，我們一起繼續(xù)研究，有沒(méi)有更好的辦法呢？

2.感悟數(shù)學(xué)文化

師：（發(fā)給每個(gè)學(xué)生一張50以內(nèi)的自然數(shù)表）請(qǐng)你獨(dú)立想方設(shè)法快速尋找出50以內(nèi)自然數(shù)的所有素?cái)?shù)。（大概用時(shí)5分鐘）

（教師故意鼓勵(lì)學(xué)生想出方法來(lái)找，根據(jù)每個(gè)學(xué)生的思維水平和思考策略形成解決問(wèn)題的差異，生成方法優(yōu)化的資源，為下一步感悟數(shù)學(xué)文化價(jià)值的魅力做情感的渲染和智慧的啟迪。）

生1：老師，我還沒(méi)找完，我只找到了第二排，我是用一個(gè)一個(gè)地排除的方法去慢慢地找的。

生2：我是胡亂地找出一些，但好像沒(méi)找全。

生3：我是劃掉了2的所有倍數(shù)（2除外）。（圖4）

生4：我不僅劃掉了2的所有倍數(shù)，還劃掉了5的所有倍數(shù)（2、5除外）。（圖5）

生5：我補(bǔ)充，我比他們劃得還要多，不僅要?jiǎng)澋?、5的倍數(shù)，我還將3的倍數(shù)全劃掉了（2、5、3除外），剩下的數(shù)都是素?cái)?shù)。（圖6）

師：你們剛才都能充分發(fā)表自己的觀點(diǎn)和想法，很好。學(xué)習(xí)就是需要交流，學(xué)習(xí)就是需要碰撞。你們覺(jué)得哪些同學(xué)的方法對(duì)你有啟發(fā)？

生1（剛才的）：我覺(jué)得他們幾個(gè)的方法比我想的更簡(jiǎn)便些。

師：是啊，我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)可以根據(jù)具體情況靈活采用不同的方法去思考。你真會(huì)傾聽(tīng)，傾聽(tīng)是一種非常重要的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

生2（剛才的）：我的方法盡管簡(jiǎn)單些，但沒(méi)有找全，狄煜（生5）找得比我全。

師：（呈現(xiàn)生5的數(shù)表，即圖6）這些數(shù)都是素?cái)?shù)，你們同意嗎？如果同意，請(qǐng)你們將這些素?cái)?shù)一個(gè)接一個(gè)報(bào)出來(lái)。

生（齊報(bào)）：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，

31，37，41，43，47

（當(dāng)報(bào)到49時(shí)，有的學(xué)生舉手有話要說(shuō)。）

生：老師，我補(bǔ)充，49不是素?cái)?shù)，它是7的倍數(shù)，七七四十九。

師：看來(lái)，我們要找出50以內(nèi)所有的素?cái)?shù)，先將1劃掉，再將2、3、5、7的倍數(shù)劃掉（2、3、5、7本身除外），剩下的數(shù)就是素?cái)?shù)了。

（學(xué)生直點(diǎn)頭表示同意）

3.思辨引發(fā)思考

師：學(xué)數(shù)學(xué)不光要知道怎么做，還要知道為什么這樣做。那么大家有沒(méi)有想過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題，為什么只要?jiǎng)澋?、3、5、7的倍數(shù)就能找全了呢？要不要?jiǎng)澋?、6的倍數(shù)，8、9的倍數(shù)要考慮嗎？為什么？請(qǐng)獨(dú)立思考一會(huì)兒。

生：不要再考慮4、6、8、9的倍數(shù)了。因?yàn)?的倍數(shù)已經(jīng)把4的倍數(shù)全包括進(jìn)去了，2、3的倍數(shù)同時(shí)也就是6的倍數(shù)。同樣的，8、9也不要考慮了，都會(huì)重復(fù)的。

師：那么，還要不要考慮11的倍數(shù)？13呢，為什么？

生：不用，因?yàn)樵?0以內(nèi)，11的倍數(shù)不超過(guò)5倍，2、3、4、5倍就已經(jīng)是55了。13也是這個(gè)道理。

師：學(xué)數(shù)學(xué)就是要這樣，想一想，還可能會(huì)是什么情況，再想辦法驗(yàn)證、思考，將問(wèn)題考慮得更全面、更深刻。

4.體驗(yàn)文明成果

師：照這樣的方法，我們能制作一張100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表（呈現(xiàn)100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表，并向?qū)W生呈現(xiàn)2000多年前古希臘數(shù)學(xué)家“厄拉多塞尼篩法”的數(shù)學(xué)史料）。

師：你會(huì)再根據(jù)質(zhì)數(shù)表迅速判斷以下各數(shù)哪些是合數(shù)？

33 29 63 51 79 35 53

師：請(qǐng)大家選擇合適的素?cái)?shù)填寫(xiě)下面的空格，使等式成立。

4=（ ）+（ ） 5=（ ）+（ ）

6=（ ）+（ ） 7=（ ）+（ ）+（ ）

8=（ ）+（ ） 9=（ ）+（ ）+（ ）

（學(xué)生判斷、填空略）

師：（結(jié)合此題的練習(xí)）介紹了“哥德巴赫猜想”，以及陳景潤(rùn)感動(dòng)中國(guó)的故事和所做出的杰出貢獻(xiàn)。

四、拓展遷移綜合，實(shí)踐應(yīng)用提升

1.拓展遷移

師：請(qǐng)獨(dú)立完成表格（自然數(shù)1～20的表格）的填空與選擇。并說(shuō)一說(shuō)：觀察這張表格，你能發(fā)現(xiàn)哪些有趣的數(shù)學(xué)秘密？

生：我發(fā)現(xiàn)（表格中）奇數(shù)中只有9和15是合 數(shù)，其余的都是素?cái)?shù)。

生：我發(fā)現(xiàn)偶數(shù)都是合數(shù)。

師：誰(shuí)對(duì)他的回答有補(bǔ)充？

生：偶數(shù)除了2外，其余的都是合數(shù)。

生：最小的合數(shù)是4，最小的素?cái)?shù)是2。

生：合數(shù)中有的是奇數(shù)，有的是偶數(shù)。

2.實(shí)踐應(yīng)用

師：接下來(lái)我們玩一個(gè)\"猜電話號(hào)碼\"的游戲，老師辦公室的電話號(hào)碼是一個(gè)七位數(shù)ABCDEFG。其中：

A：10以內(nèi)最大的質(zhì)數(shù)（ ）

B：是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)（ ）

C：小于10的最大的偶數(shù)（ ）

D：5的最小倍數(shù)（ ）

E：比最小的偶數(shù)小2的數(shù)（ ）

F：最小的合數(shù)（ ）

G：既不是素?cái)?shù)，也不是合數(shù)（ ）

（學(xué)生饒有興趣地猜出了電話號(hào)碼）

3.質(zhì)疑提升

師：馬上要下課了，你對(duì)本節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容還能提出哪些感興趣的問(wèn)題來(lái)研究？

生1：人類(lèi)怎么想到要研究素?cái)?shù)和合數(shù)的？

生2：學(xué)習(xí)素?cái)?shù)和合數(shù)有什么用？

生3：有沒(méi)有最大的素?cái)?shù)？

……

（陸麗萍，溧陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校，213300）