基于誤差分布的ARCH族模型在深證指數(shù)中的應用與預測

【摘 要】 金融資產(chǎn)收益率一直是經(jīng)濟研究人員和投資者關注的焦點，ARCH族模型族可以較好地擬合金融資產(chǎn)收益率序列存在的尖峰厚尾、波動聚集性以及杠桿效應等特征。利用ARCH族模型對深圳成指日收盤價的對數(shù)收益率序列進行擬合和短期預測。分析表明：深證指數(shù)收益率序列存在ARCH效應，對此建立了殘差分別服從正態(tài)分布、t分布、GED分布下的GARCH模型、EGARCH模型和TARCH模型。經(jīng)比較服從GED分布下的GARCH模型的擬合效果最好，并用此模型對深證成指進行短期預測，其預測值接近于實際值。

【關鍵詞】 ARCH效應 GED分布 ARCH族模型 波動性聚類 杠桿效應

研究金融市場時發(fā)現(xiàn)，一些金融時間序列常常出現(xiàn)集群現(xiàn)象，方差會隨時間改變，即某些變量序列發(fā)生突然性的波動，并且一個大的波動后面常常跟著另一個大的波動，而在一個小的波動后面常常跟著另一個小的波動，這種現(xiàn)象違背了模型的隨機誤差項服從同方差的假定，并也會導致股票收益率數(shù)據(jù)的分布出現(xiàn)尖峰厚尾的特征。為了模擬這種波動，提高預測精度，1982 年恩格爾（Engle）提出了方差隨時間變化的自回歸條件異方差 ARCH 模型，模型的不斷發(fā)展完善，繼而博勒斯萊文（Bollerslev）進一步提出了廣義自回歸條件異方差GARCH 模型。此后，ARCH 模型的一些擴展模型也被相繼提出，如 ARCH-M 模型、EGARCH 模型、TARCH 模型等形成 ARCH 族模型。這些模型在收益率的波動性、市場風險評估、價格波動等方面得到了廣泛的應用并效果較好。基于金融危機發(fā)生后中國股市的波動性較大，有必要對深圳股市進行實證研究。本文以深證成指收盤指數(shù)為樣本建立ARMA-ARCH族模型，并考慮誤差分別在正態(tài)分布、t分布、GED分布下的 ARMA-GARCH模型，比較ARMA-ARCH族各種模型，進行最優(yōu)選擇，并利用此模型進行短期預測[1]。

1. ARCH族模型概述

1.1 ARCH 模型

自回歸條件異方差（ARCH） 的定義有多種方法，目前常用的是恩格爾（Engle）于 1982 年提出的定義[2]。

若有一隨機過程{εt}，εt2服從 AR（q）過程：

εt2=α0+α1εt-12+…+αqεt-q2+ηt (1)

其中{ηt}獨立同分布，且E(ηt)=0，D(ηt)=λ2 ，t=1，2…T則稱{εt}服從q階的ARCH過程，記作εt~ARCH(q)。為了研究的方便，一般的ARCH(q)模型可以表示為：εt=htvt(2)

其中，{vt}獨立同分布，且E(vt)=0，D(vt)=1，ht可以表示為：

ht2=α0+α1εt-12 +…＋αqεt-q2(3)

1.2 GARCH 模型

若序列εt可以表示為：

εt＝htvt (4)

ht2 =α0+α1εt-12 +…＋αqεt-q2+β1ht-12+…+βpht-p2(5)

其中， [vt]獨立同分布，且vt~N(0，1)，t=1，2，…T，由上式定義的過程εt＝htvt稱為廣義的ARCH過程，記作εt~GARCH(p，q)。其中需要說明的是■αi+■βi＜1， ■αi+■βi， 值的大小反映出外部沖擊對εt波動特征產(chǎn)生影響的持久性，其值越大，說明產(chǎn)生的影響越持久。

GARCH 模型中誤差分布一般有三種假設：

（1）誤差εt為正態(tài)分布：εt~N(0，1)；

（2）誤差εt的分布：εt～t(λ)，其中t(λ)是均值為0，自由度是λ的t分布；

（3）誤差εt為GED分布：其概率密度函數(shù)： f(x)=■exp(-■) (6)

其中，-∞＜x＜+∞，-∞＜μ＜+∞，σp＞0，p＞0。

1.3 EGARCH 模型

在ARCH過程εt＝■vt中，{vt}獨立同分布，且，E(vt)=0，D(vt)=1并設有條件方差ht有式(7)所示形式

lnht=α0+■αi|■-E(■)|

+■λk■+■βjlnht-1 (7)

則稱{εt}服從q 階的EGARCH過程。EGARCH模型的條件方差ht是由指數(shù)形式表示的，ht非負且杠桿效應是指數(shù)型的， 說明信息作用非對稱。

1.4 TARCH 模型

TARCH模型的具體形式如下：

εt＝htvt (8)

ht2=α0+■αiεt-i2+■βjht-j2+■γkεt-k2dt-k (9)

1，εt-k＜0

其中dt-k={

0，其它

由于引入dt-k，股票上漲信息（εt-k＞0）和下跌信息（εt-k＜0）對條件方差的作用效果不同，上漲時γkεt-k2dt-k=0，其可用系數(shù)代表■αi，下跌時■αi+■γk。γk≠0表明信息是非對稱的，而γk＞0，則可認為存在杠桿效應。

2.實證分析

2.1數(shù)據(jù)分析

本文選取的數(shù)據(jù)為深圳證劵交易所每日收盤的深證成指指數(shù)。數(shù)據(jù)的時間段為2008年1月2日至2011年12月30日，共976個觀察值。（數(shù)據(jù)來源于大智慧軟件）。令yt為深證成指第t個交易日的收盤價，pt為日收益pt=ln(yt)-ln(yt-1)。

收益率的時間序列圖及序列的統(tǒng)計特征見圖1。

圖1 深證成指收益率序列圖

通過圖1可以看到深證成指收益率的波動具有“集群”現(xiàn)象，即一個大的波動后面常常跟著另一個大的波動，而在一個小的波動后面常常跟著另一個小的波動。因此，初步判斷序列可能有ARCH效應[3]。

為了較好的了解收益率序列的性質(zhì)，我們對序列進行統(tǒng)計檢驗和單位根檢驗，結果見表1和表2。

表1 收益率序列統(tǒng)計特征

表 2 收益率序列單位根檢驗

由表1可知，深證成指收益率序列偏度為-0.26483，小于0呈左偏狀態(tài)；峰度為4.81664，大于3呈尖峰狀態(tài)。這些結果表明，深證成指收益率序列呈現(xiàn)出“尖峰后尾”狀態(tài)。

由表2可知，檢驗t統(tǒng)計量值-29.65912比顯著性水平 1%的臨界值小，所以拒絕原假設。序列不存在單位根，序列平穩(wěn)。

利用自相關函數(shù)和偏相關函數(shù)及Q統(tǒng)計量來檢驗收益率序列的相關性，收益率序列具有弱相關性。

利用序列的自相關和偏相關性建立ARMA(p，q)模型，經(jīng)過比較AIC和BIC及極大似然估計量，選取了ARMA(2，2)模型。對ARMA(2，2)模型的殘差序列利用ARCH-LM檢驗法進行異方差性檢驗，檢驗結果見表3。

表3 ARCH-LM test

由表3可知，F(xiàn)統(tǒng)計量和R2統(tǒng)計量對應的概率接近于0，拒絕殘差序列不存在ARCH效應的原假設，說明收益率序列存在ARCH效應。

2.2 ARCH族模型建立

2.2.1 GARCH模型

經(jīng)對收益率序列的平穩(wěn)性、相關性和ARCH效應檢驗，建立了均值方程ARMA(2，2)，并在此模型基礎上建立ARCH族模型來擬合誤差。下面針對GARCH模型中誤差的不同分布建立ARMA(2，2)-GARCH(1，1)模型來分析深證成指收益率[4~5]。模型如下：

（1）εt為正態(tài)分布：

yt=-0.0005-0.7472yt-1+0.1112yt-2+0.7924εt-1

-0.0973εt-1+εt

ht2=5.03×10-6+0.05172εt-12+0.93644ht-12

（2）εt為t分布：

yt=-5.95×10-5-0.1156yt-1+0.7699yt-2

-0.0807εt-1-0.7948εt-1+εt

ht2=2.74×10-6+0.04856εt-12+0.94373ht-12

（3）εt為GED分布：

yt=0.00052+0.20907yt-1+0.77842yt-2

-0.18097εt-1-0.78742εt-1+εt

ht2=3.42×10-6+0.04622εt-12+0.94629ht-12

從上述模型中可以看到，α1，β1均為正，且 α1+β1＜1，說明過去的波動對未來的波動有正向長期的影響。誤差服從不同的分布的三種模型，那種能夠更好的描述深證收益率，見表4。

表4 模型擬合效果

由表4可見，R2越大越好，極大似然值也越大越好，AIC和SC值越小越好的原則，在ARMA-GARCH不同誤差分布中，誤差基于GED分布的模型擬合最好，其次為 分布、正態(tài)分布。

2.2.2 EGARCH模型

對收益率序列建立ARMA(2，2)-EGARCH(1，1)模型：

均值方程：

yt=-0.0009+0.06175yt-1+0.9082yt-2

-0.03760εt-1-0.9173εt-1+εt

方差方程：

lnht=-0.18784+0.010769|■|

-0.0392■+0.98638lnht-1

模型的條件方差采用了自然對數(shù)形式， α1的估計值0.10769，非對稱項λ1的估計值為-0.039203，。當εt-1＞0時，該信息沖擊對條件方差的對數(shù)有一個0.06849沖擊；當εt-1＜0時，它給條件方差的對數(shù)帶來的沖擊大小為0.14689。

2.2.3 TARCH模型

對收益率序列建立ARMA(2，2)-TARCH(1，1)模型：

均值方程：

yt=-0.00078+0.20978yt-1+0.76173yt-2

-0.16903εt-1-0.79376εt-1+εt

方差方程：

ht2=4.89×10-6+0.02583εt-12

+0.03582ht-12+0.09442εt-12dt-1

模型中看到λ1=0.9442＞0，說明信息作用是非對稱的且存在杠桿效應。因此，在金融市場，股價下跌和上漲幅度一樣時，股票價格下跌過程中伴隨著的波動更劇烈[6]。

3.模型預測

對深證成指2008年1月2日至2011年12月30日收盤價的對數(shù)收益率序列建立了ARCH族模型，通過模型分析：表明誤差基于GED分布的GARCH模型擬合最好。利用此模型對深證成指2012年1月4日、5日、6日及9日的收盤價進行預測。計算結果如下：

表 5 實際值與預測值對比

由表5可知，利用服從GED分布的GRACH（1，1）模型進行預測，可以看出測算結果與實際值之間存在細微差別。這也說明運用ARCH 族模型進行測算是很穩(wěn)定的。因此，測算結果還是非常有意義的。

結論

本文通過對深證成指的對數(shù)收益率利用ARCH族模型進行擬合和預測，得到結論如下：

(1)以深圳證券交易所股票價格綜合指數(shù)日收盤價格序列為樣本，研究表明股票價格序列波動存在ARCH 效應。

(2)針對股票價格序列ARCH 效應，建立ARCH族模型。在殘差服從不同分布下，GRAHCH (1，1) 模型中，系數(shù)α+β＜1，接近于 1，這說明外部沖擊對股價造成的影響具有無限期延伸下去的趨勢，股票市場的記憶期也變長了。在這種情況下，政策對股票市場的影響將是長期的。

(3)在 EGARCH(1，1)模型中，非對稱項的估計值為-0.0392，這說明在深圳證券交易市場中存在杠桿效應。也就是說，在深圳股票市場上，利空消息對股票市場的影響要大于利好消息對股票市場的影響。

(4)在ARMA模型基礎上建立了ARCH族模型，比較在殘差服從不同分布下的ARMA-GRACH模型，其中服從GED分布的GRACH(1，1)預測效果好于其它模型，適合對深證成指的短期預測，預測結果表明：測算值更接近于實際值。但部分預測值測算誤差會大一些，可能是中國股市的波動性還不是純隨機性的，與國家政策關系密切。因此，為了更好地模擬和測算數(shù)據(jù)，我們在對模型進行構建時，還需進一步考慮其他因素。

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作者簡介：吳玉東（1977-），女，黑龍江雞西人，講師，從事金融數(shù)學、概率論與數(shù)理統(tǒng)計研究。

（作者單位：哈爾濱商業(yè)大學 基礎科學學院）