笛卡爾與解析幾何的創(chuàng)立

摘 要：笛卡爾引入了坐標(biāo)的觀念，將幾何坐標(biāo)公式化，為解析幾何的創(chuàng)立做出了奠基性的貢獻(xiàn)。解析幾何的創(chuàng)立使代數(shù)、幾何實(shí)現(xiàn)了完美的統(tǒng)一，不僅促進(jìn)了幾何的研究和代數(shù)的獨(dú)立發(fā)展，而且推進(jìn)了科學(xué)的進(jìn)步。

關(guān)鍵詞：笛卡爾 解析幾何 坐標(biāo)

中圖分類號(hào)：G71 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2012）12（c）-0165-01

勒內(nèi)·笛卡爾（Rene Descartes，1596年至1650年）法國(guó)哲學(xué)家、科學(xué)家和數(shù)學(xué)家。笛卡爾是西方現(xiàn)代哲學(xué)思想的奠基者，其哲學(xué)思想深深影響了之后的幾代歐洲人。但是，可能許多人不太了解他對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)做出的重要貢獻(xiàn)，笛卡爾因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何的創(chuàng)立者。

笛卡爾，1596年3月31日生于法國(guó)土倫的拉哈耶。父親是一位律師，笛卡爾20歲畢業(yè)于普瓦界大學(xué)，去巴黎當(dāng)了律師。在巴黎，他認(rèn)識(shí)了米道奇（Mydarge）和梅森（Merrsnne），花了一年時(shí)間與他們一起研究數(shù)學(xué)。笛卡爾為了追趕當(dāng)時(shí)的時(shí)髦（有志之士不是獻(xiàn)身宗教，就是獻(xiàn)身軍事）而去從軍，遍歷歐洲。1617年服役期間，在荷蘭布萊達(dá)遇到一張數(shù)學(xué)難題招貼，由于看不懂上面的佛來(lái)米語(yǔ)，一位中年人熱心地給他作了翻譯，第二天他把解答交給了那位中年人，引起了中年人的極大驚訝，原來(lái)這個(gè)中年人是荷蘭著名的數(shù)學(xué)教授別克曼（Isaac Beeckeman，1588年至1673年，荷蘭），這次偶然的機(jī)會(huì)使笛卡爾對(duì)自己的數(shù)學(xué)才華加深了信心，從此在別克曼教授的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，1628年他移居荷蘭，在較為安靜自由的學(xué)術(shù)環(huán)境中生活了二十年，寫成了許多世界名著。其主要著作有《思想的指導(dǎo)法則》《世界體系》等。1637年，笛卡爾出版了他的《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》一書，書后三個(gè)附錄之一的《幾何學(xué)》，闡述了坐標(biāo)幾何即今解析幾何的內(nèi)容，它體現(xiàn)出一種“數(shù)”“形”結(jié)合的新思想，引起了數(shù)學(xué)的變革，成為變量數(shù)學(xué)的起點(diǎn)。

笛卡爾的中心思想是要建立一種普遍的數(shù)，使算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來(lái)，其思想方法主要表現(xiàn)在：

1 引入了坐標(biāo)概念

笛卡爾從自古已知的天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）的對(duì)應(yīng)關(guān)系、從而建立了坐標(biāo)的觀念。

笛卡兒的坐標(biāo)系不同于一般的定理和數(shù)學(xué)理論，這是一種思想方法和技藝，它使個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)生了嶄新的變化。恩格斯對(duì)笛卡爾的這一貢獻(xiàn)曾經(jīng)這樣評(píng)價(jià)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變量，有了它，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，因而辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，因而微分和積分的運(yùn)算也就立刻成為必要了。”為紀(jì)念這位杰出的業(yè)余數(shù)學(xué)家，人們現(xiàn)在所用的直角坐標(biāo)系，通常叫做“笛卡兒直角坐標(biāo)系”。

2 用方程表示曲線的思想

笛卡爾把兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的二個(gè)未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條曲線，研究二元方程F（x，y）=0的性質(zhì)。滿足這個(gè)方程的x，y值無(wú)限多，當(dāng)x變化時(shí)，y也跟著變化，y的不同取值確定平面上許多不同的點(diǎn)，便構(gòu)成了一條曲線，具備某種性質(zhì)的點(diǎn)之間，存在某種關(guān)系，笛卡爾說(shuō)：“這種關(guān)系可用一個(gè)方程來(lái)表示”，這就是他的方程表示曲線的思想。這樣，可以用一個(gè)二元方程表示平面曲線，并根據(jù)方程的代數(shù)性質(zhì)研究相應(yīng)曲線的幾何性質(zhì)；反過(guò)來(lái)，可以根據(jù)曲線的已有的幾何性質(zhì)，確定曲線的方程，并用幾何的觀點(diǎn)來(lái)考察方程的代數(shù)性質(zhì)。

3 推廣了曲線的概念

笛卡爾不僅接受了以前被排斥的曲線，而且還開辟了整個(gè)的曲線領(lǐng)域；這里的曲線，笛卡爾指具有代數(shù)方程的那種。笛卡爾認(rèn)為，幾何曲線是那些可用一個(gè)惟一的含x；y的有限次代數(shù)方程來(lái)表示的曲線，避免了以能否畫出來(lái)來(lái)判別曲線是否存在的觀點(diǎn)。由于幾何曲線未必都能用代數(shù)方程表示出來(lái)，所以今天看來(lái)，笛卡爾關(guān)于曲線的概念的推廣還不徹底，萊布尼茲把有代數(shù)方程的曲線叫代數(shù)曲線，否則叫超越曲線。笛卡爾及其他數(shù)學(xué)家也同樣研究了旋輪線、對(duì)數(shù)曲線嘴對(duì)數(shù)螺線和其他非代數(shù)曲線。

4 按方程的次數(shù)對(duì)方程進(jìn)行分類

笛卡爾認(rèn)為，含X和Y的一次和二次方程屬于第一類，也是最基本的類，三次和四次方程表示的曲線屬于第二類，五次和六次方程的曲線構(gòu)成第三類，依次類推。作出這樣的分類，原因在于，笛卡爾相信，每一類中高次的可以化為低次的，比如四次方程的解可以通過(guò)三次方程的解來(lái)求出，這當(dāng)然又具有化歸的思想。

針對(duì)笛卡爾的解析幾何，數(shù)學(xué)家們不斷予以完善與補(bǔ)充。在《幾何學(xué)》中，笛卡爾引入了變量與坐標(biāo)，但并未使用今天的“變量”一詞；坐標(biāo)方面，也只是引入了一條坐標(biāo)軸（即今x軸）。現(xiàn)在使用的“變量”一詞，最早是由約翰·伯努利（lolann Bernoulli）于1718年引入；“坐標(biāo)”一詞是1692年才由萊布尼茲正式引進(jìn)的。第二條坐標(biāo)軸即Y軸，由克萊姆（G.Gramer，1704年至1752年，瑞士）于1750年他的《代數(shù)曲線分析引論》中才正式引人，距x軸的引入晚了一百多年，笛卡爾也沒有使用縱、橫坐標(biāo)的詞語(yǔ)。1692年，萊布尼茲引入“坐標(biāo)”一詞后，1694年，萊布尼茲正式使用了“縱坐標(biāo)”，一詞，而“橫坐標(biāo)”，一詞是在18世紀(jì)才由沃爾夫（Christian Von Wolf，1679年至1754年，法）等人引入的。19世紀(jì)后，解析幾何的發(fā)展趨于成熟，被廣泛應(yīng)用在自然科學(xué)各領(lǐng)域和數(shù)學(xué)科學(xué)研究中。

解析幾何的創(chuàng)立具有深遠(yuǎn)的歷史意義。

首先，解析幾何使代數(shù)、幾何實(shí)現(xiàn)了完美的統(tǒng)一。由于解析幾何集中了代數(shù)與幾何研究的優(yōu)點(diǎn)，為數(shù)學(xué)研究提供了極大的便利。供了極大的便利。幾何問(wèn)題，可以用代數(shù)表達(dá)；幾何目標(biāo)可以通過(guò)代數(shù)的研究達(dá)到；反過(guò)來(lái)，代數(shù)的問(wèn)題可以得到幾柯意義上的解釋，通過(guò)直觀輔助分析，從而得出新的結(jié)果。猶如拉格朗日所說(shuō)：“只要代數(shù)與幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就互相吸收產(chǎn)生新的活力，從那以后就以快速的步伐走向完善。”

其次，解析幾何促進(jìn)了幾何的研究。笛卡爾原本設(shè)想，通過(guò)解析幾何給幾何引入一種新方法，然而成就卻大大超出了他的預(yù)想。利用解析幾何方法，平面幾何中必須分別處理的問(wèn)題，可以用代數(shù)統(tǒng)一處理，如在證明三角形的高線共點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，不須考慮交點(diǎn)是在三角形的內(nèi)部或外部，實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)一的證明。

再次，解析幾何促進(jìn)了代數(shù)的獨(dú)立發(fā)展。從古希臘到公元1600年，幾何在數(shù)學(xué)中一直占據(jù)著統(tǒng)治地位，代數(shù)一直是幾何的附庸。解析幾何的創(chuàng)立，充分展示了代數(shù)的作用，因此，1600年以后，代數(shù)逐步從幾何的統(tǒng)治地位下獨(dú)立出來(lái)，成為一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支，取得了它應(yīng)有的地位。因此，解析幾何促進(jìn)了代數(shù)學(xué)的獨(dú)立與發(fā)展。

最后，解析幾何推進(jìn)了科學(xué)的進(jìn)步。17世紀(jì)，科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展迫切需要數(shù)學(xué)為其提供便利的數(shù)學(xué)工具，解析幾何的創(chuàng)立滿足了科學(xué)技術(shù)發(fā)展的要求。通過(guò)解析幾何。人們對(duì)曲線的研究越來(lái)越深刻，像大地測(cè)量學(xué)、航海學(xué)、歷法學(xué)、天文學(xué)、軍事學(xué)等領(lǐng)域，解析幾何把形象與路線表達(dá)為代數(shù)形式，從而得出人們需要的數(shù)學(xué)知識(shí)。通過(guò)對(duì)拋物線的研究，牛頓制作了反射望遠(yuǎn)鏡；人們還利用拋物線的聚焦性質(zhì)設(shè)計(jì)制造出現(xiàn)代的探照燈。

參考文獻(xiàn)

[1]項(xiàng)武義.基礎(chǔ)數(shù)學(xué)講義叢書·基礎(chǔ)幾何學(xué)[M].北京：人民教育出版社，2004.

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