徑向基函數(shù)方法在曲面重建中的應用

摘 要：本文介紹了曲面重建的基本原理，論述了RBF插值的數(shù)學原理。并應用RBF方法對散亂點云模型進行了驗證，實現(xiàn)了散亂點云的三維重建。但該算法目前效率還比較低，不適合應用于大量散亂數(shù)據(jù)的三維重構，有待于進一步優(yōu)化。

關鍵詞：徑向基函數(shù) 曲面重建

中圖分類號：TP27 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2012）12（c）-0164-01

根據(jù)測量的散亂數(shù)據(jù)進行三維曲面的重建是逆向工程中最重要的步驟之一，是整個逆向工程中非常困難的問題之一，也是當前逆向工程研究的熱點問題。曲面重建的目標是找到某種數(shù)學表達式，能準確地描述一個現(xiàn)實的物理曲面幾何特征，并根據(jù)它對曲面進行計算、分析、修改和繪制等操作。

1 曲面重建的概念

在逆向工程領域內，自由曲面的造型一直是研究者關注的核心問題之一。基于點的采樣表面是一個在連續(xù)曲面上以多分辨率方式組織表示的稠密的離散采樣點的集合，它是對模型描述的信息的邊界表示。已知三維空間中的采樣點不規(guī)則地分布于被測實體的外表面，首先假定離散采樣點滿足必要的采樣標準如Nyquist條件，并且這些采樣點完全涵蓋了被測實體曲面的拓撲與幾何信息。Hoppe提出了一個統(tǒng)一性的定義：表面重構就是用一個采樣集以及采樣處理的一些信近似確定一個曲面S'，該曲面能夠合理地逼近未知表面S。

2 徑向基函數(shù)方法及其理論基礎

2.1 徑向基函數(shù)方法

Carr提出了一種RBFs重建曲面的方法，該方法利用多重調和徑向基函數(shù)從散亂點云中中重建出光滑流形表面。徑向基函數(shù)點云模型曲面重建為描述曲面的點云提供了一個緊湊的隱式函數(shù)表達式，該表達式不僅經過插值點，并且還具有一定的延展性，利用其延展性可對一些點云模型的局部空洞進行修復。應用徑向基函數(shù)法重建曲面需要求解一個大型的線性方程組，計算代價比較高。

2.2 徑向基函數(shù)方法的理論基礎

多變量插值的問題描述如下，給定一個包含有N個不同的數(shù)據(jù)點的集合，以及一個包含有N個實數(shù)的集合，要找到一個函數(shù)：，滿足插值條件如下：

很明顯，如果m=2或3，則所有的給定數(shù)據(jù)點都會通過所定義的曲面。

采用RBF進行插值方法可以歸納為給具有如下形式的基函數(shù)：，則函數(shù)滿足：

在式（2）中是待定系數(shù)，是徑向基函數(shù)，表示歐幾里得范數(shù)，給定的N個數(shù)據(jù)點就是徑向基函數(shù)的中心。

3 散亂點云擬合實例

本節(jié)對上一節(jié)的算法對部分散亂點云進行了擬合驗證，基函數(shù)采用的是Hardy的Multi-Quadric函數(shù)，按照Turk G提供的方法選取了法向約束點，距離為0.01。如圖1和圖2所示。圖1是一個圓球的點云，數(shù)據(jù)點162個。圖2為小貓模型點云，數(shù)據(jù)點數(shù)為4539個。

4 結論

本文采用徑向基函數(shù)方法實現(xiàn)了對散亂點云數(shù)據(jù)的擬合，該方法雖然可以實現(xiàn)數(shù)據(jù)擬合，并可利用其延展性修復一些點云模型的局部空洞。但應用徑向基函數(shù)法重建曲面需要求解一個大型的線性方程組，計算代價比較高。為了提高計算效率，可以利用緊支柱徑向基函數(shù)重建三維表面，即只考慮徑向基函數(shù)中心局部區(qū)域內的點云。

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