三角函數證明不等式集錦

　　不等式不僅出現(xiàn)在中學數學各個分支中，而且在以后的繼續(xù)教育中也會頻頻露面，它的應用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，對數學各部分知識融會貫通，起到了很好的促進作用，所以在中學階段，學生掌握不等式是十分必要的.而不等式的證明，方法靈活多樣，還與很多內容相聯(lián)系。它既是中學數學教學中的難點，又是數學競賽培訓的難點，近年也演變?yōu)楦傎惷}的熱點。因其證明不僅蘊涵了豐富的邏輯推理，非常講究恒等和不等變形技巧，而且證明過程千姿百態(tài)，極易出錯.本文通過實例利用三角函數歸結了一些不等式的證明的方法與技巧.
　　一、如果條件中有a+b=1，且a，b∈R，可作三角代換a=cosα，b=sinα.
　　例1.已知：a，b∈R，且a+b=1，求證：（a+）+（b+）≥.
　　證明：令a=cosα，b=sinα，則（a+）+（b+）=（cosα+）+（sinα+）≥（sinα+cosα++）=（1+）≥
　　二、如果條件中有a+b=r，可作三角代換a=rcosα，b=rsinα.
　　例2.已知：x+y=3，a+b=4（x、y、a、b∈R），求證：|ax+by|≤ 2.
　　證明：設x=sinα，y=cosα，a=2sinβ，b=2cosβ，則
　　|ax+by|=|2sinαsinβ+2cosαcosβ|=2|cos（α-β）|≤2
　　三、如果條件中有a+b≤r（r＞0），可作三角代換a=tcosα，b=tsinα（|t|≤r）.
　　例3.已知：1≤x+y≤2，求證：≤x-xy+y≤3.
　　證明：設x=rcosα，y=rsinα，1≤|r|≤，則
　　x-xy+y=rcosα-rsinαcosα+rsinα=r-rsinαcosα=r（1-sin2α）≤r（1+）≤3
　　又x-xy+y=r（1-sin2α）≥r（1-）=，故：≤x-xy+y≤3.
　　四、如果條件中有a-b=1，且a，b∈R，可作三角代換a=secθ， b=tanθ（0＜θ＜）.
　　例4.已知:a＞1，b＞0，a-b=1，求證:0＜（-）（+）＜1.
　　解析:由于a＞1，b＞0，a-b=1，并且不等式中有，，因此我們聯(lián)想三角函數的平方關系:secθ-tanθ=1.經過對比，發(fā)現(xiàn)a相當于secθ，b相當于tanθ，因而可令：
　　a=secθ，b=tanθ（0＜θ＜）.
　　證明:令a=secθ，b=tanθ（0＜θ＜），則
　?。?）（+）=??=sinθ＜1，故：0＜（-）（+）＜1
　　五、如果條件中有a-b=1，可作三角代換a=secα，b=tanα（α≠kπ+，k∈Z）.
　　例5.已知x-y=1，求證：（x-）（y+）＜1.
　　證明：設x=secα，y=tanα（α≠kπ+，k∈Z），則
　?。▁-）（y+）=（secα-cosα）（tanα+cotα）cosα==|sinα|＜1.
　　六、如果條件中有xy=1，則可作三角代換x=tanα，y=cotα.
　　例6.在R中，xy=1，求證：（y-x）≤1.
　　證明：設x=tanα，y=cotα，且tanα＞0，cotα＞0，則
　　（y-x）=2cot2α=2cot2α?sinα?cosα=cos2α≤1.
　　七、利用tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC，（A+B+C=kπ）.
　　例7.（1995數學冬令營試題5）設x＞0，i=1，2，…，n，且x+…+x=1，求證：1≤≤.
　　證明：第一不等式用算術平均不等式：≤
　　1）∵?=≤==1
　　∴≥x=1
　　關于第二不等式證明：令θ;sinθ=x+…+x，0＜θ＜，i=1，2，…，n，θ=0.
　　故：θ=0＜θ＜θ＜…＜θ＜θ=.
　　2）∵==
　　∵＞θ，y=cosθ在θ∈（0，）上單調遞減，
　　∴＜2sin，
　　又∵sinα＜α，α∈（0，），∴2sin＜θ-θ，
　　∴≤（θ-θ）=θ-θ=.
　　故： 原式成立.
　　八．隨題應變.依據已知條件適當轉化、變形，由形定法.
　　例8.（北京IMO集訓班試題，1990） 求滿足方程組y=4x-3xz=4y-3yx=4z-3z的實數（x，y，z）.
　　解析：由每個方程的形式聯(lián)想三倍角的余弦式，故用三角法.
　　解：首先證明，|x|≤1，否則|x|＞1，則由y=x（4x-3）推出|y|＞ |x|
　　同理：|z|＞|y|，|x|＞|z|矛盾，因此，設x=cosθ，0≤θ≤π
　　則y=4cosθ-3cosθ=cos3θ，z=cos9θ，x=cos27θ.∴θ是方程cosθ-cos27θ=0的解.即θ滿足sin13θ?sin14θ=0.∴θ在［０，π］上有27個解，即θ=π，k=0，1，2，…，13.
　　∴（x，y，z）=（cosθ，cos3θ，cos9θ）.其中θ=或，k=0，1，2，…，1