例談數學問題中主元的確立

　　數字和若干字母的有限次乘法運算式中表示變量的字母稱元，而對“元”的研究便成了數學研究的重要內容.本文旨在舉證“元”的確立對問題的解決的點睛意義.
　　1.換元
　　把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，改變代數結構，保留其基本性質，從而使問題得到簡化，這叫換元法.簡單地說，也許這個問題就是“化簡為繁”而得到的，就是通過換元找到這個問題的前身，即確立該問題最原始的主元.
　　例1：已知f（x-2）=x，x∈R，求f（x）.
　　前身：f（t）=（t+2）.解法很機械，令t=x-2，則x=t+2，故f（t）=（t+2）.
　　再如sin（x+）=，求sin（2x+）的值.
　　事實上，令t=x+，則x=t-，則sin（2x+）=sin［2（t-）+］=sin（2t-）=-cos2t=2sint-1，問題即“sint=，求2sint-1的值”.
　　很明顯，其實這里只不過是復合函數定義的回歸而已，當然很有可能進行的是不等價轉化，如f（）=x與f（t）=t不是完全的等價轉換.
　　熟悉的問題有“求y=的值域”，“解不等式2-2-3≥0”等.
　　2.轉移
　　一般是指含參數的函數問題，若以當前的主元為主元對問題的解決較復雜，可以考慮對該問題中參數的變化情況加以分析、解決.
　　例2：求y=的值域.
　　表面上看，本題并無參數，從函數定義分析，即可得到函數即x到y的一種對應，而方程yx-x+2y=0亦可體現原函數所應有的對應，則在方程中yx-x+2y=0，相對于x，y即為參數，問題即轉化為“ax-x+2a=0有解，求a的取值范圍.”當然，含參數方程有解問題，有幾個解的問題，亦可轉化為函數求值域問題，以及求出各個單調區間上的值域進行取交集的問題.這種等價性是由于函數解析式本來就是方程.如“（12北約聯考）求使得sin4xsin2x-sinxsin3x=a在［0，π）內有唯一解的a”，“若方程ax+2（a-2）x+a-1=0中的a為正整數，當a取何值時，此方程至少有一個整數解”等.
　　再如（06上海高考）：當k＞2時，求證：在區間［-1，5］上，y=kx+3k的圖像位于函數f（x）=|x-4x-5|圖像的上方.
　　思路1：已知kx+3k＞|x-4x-5|在x∈［-1，5］上恒成立，求k的取值范圍.設求得k的取值集合為A，即證（2，+∞）?哿A.
　　思路2：已知kx+3k＞|x-4x-5|在k＞2上恒成立，求x的取值范圍.設求得x的取值集合為B，即證［-1，5］?哿B.
　　事實上，相對于主元x，k是參數，若以參數k為主元，原主元x也就是參數了.
　　思路3：雙管齊下.解法如下：當x∈［-1，5］時，f（x）=-x+4x+5.
　　由y=k（x+3），y=-x+4x+5，得x+（k-4）x+（3k-5）=0，
　　令Δ=（k-4）-4（3k-5）=0，解得k=2或k=18.
　　在區間［-1，5］上，當k=2時，y=2（x+3）的圖像與函數f（x）的圖像只交于一點（1，8）；當k=18時，y=18（x+3）的圖像與函數f（x）的圖像沒有交點.
　　由于直線y=kx+3k過點（-3，0），當k＞2時，直線y=kx+3k是由直線y=2（x+3）繞點（-3，0）逆時針方向旋轉得到的.因此，在區間［-1，5］上，y=kx+3k的圖像位于函數f（x）圖像的上方.
　　誠如思路3，“函數f（x）=x+2x+1，存在實數t，使得f（x+t）≤2x對于x∈［2，m］恒成立，求實數m的最大值”.x，t，m三個未知數，需先以t為主元，這里t的變化使得f（x）的圖像在x軸上的平移滑動，再以x為主元，考察x∈［2，m］時y=f（x+t）與y=2x圖像的位置關系，逐個除去變量，凸現參變量m為最終目標.
　　3.構造
　　（1）建模
　　主要指數學建模，用數學的符號和語言，把它表述為數學式子，而這里是指通過把實際對象的變化表述為數學變量即主元的變化，從而達到研究并解決問題的目的.相對于實際問題來講，數學模型即是構造.
　　例3（08江蘇）：某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A、B及CD的中點P處，已知AB=20km，BC=10km，為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD的區域上（含邊界），且與A、B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道AO，BO，PO.設排污管道的總長為ykm.
　　（Ⅰ）按下列要求寫出函數關系式：
　　①設∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數關系式；
　　②設OP=x（km），將y表示成x的函數關系式.
　　（Ⅱ）請你選用（Ⅰ）中的一個函數關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排水管道總長度最短.
　　題目很詳細地確立了兩個主元∠BAO，OP，但主元未必非得二選一，任何對y產生影響的變量皆可為主元，如∠BOA，O到AB的距離等，只是在選擇的時候應該從簡，本題在2008年高考后，風靡了好一陣子.
　　（2）化歸
　　將待解決的或者難以解決的問題A經過某種轉化手段，轉化為有固定解決模式的或者容易解決的問題B，通過解決問題B達到解決問題A的方法即為化歸.這里指多元問題化歸為一元問題，因為我們擅長解決只含一元的數學問題，即需要我們來構造主元來替代原問題中多元的變化.
　　例4（07寧夏、海南）：已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差數列，x，c，d，y成等比數列，求的最小值.
　　分析：六個元a，b，c，d，x，y陣容可謂震撼，但a+b=x+y，cd=xy，故四元函數式可化為主元為x，y的二元函數f（x，y）=，表面上仍不足以解決其最小值，而事實上分子、分母為齊次式，亦即f（x，y）==++2，主元只是t=＞0而已.
　　再如：已知a＞b＞c，求使不等式+≥恒成立的n最大值.
　　設a-b=m＞0，b-c=n＞0，則a-c=m+n，原問題即“已知m＞0，n＞0，求使不等式（m+n）（+）≥n恒成立的n最大值”.
　　構造不一定是無中生有，只不過有的經過“化簡為繁”面目全非，需要重新構造化歸還原為原來的簡單問題.如曲線的參數方程，選用第三個變量作為主元，把二元x，y的關系式轉化為以參數為主元的兩個函數式.特別地，在解決f（x，y）的最值問題，格外有效，如“已知x+y=1，求z=x+y的最值”，只要令x=cosθ，y=sinθ即可迅速解決.
　　（3）極限
　　函數的連續性、導數，以及定積分等都是借助于極限來定義的.我們知道f（x）在x=x處的切線的斜率即f（x）在x=x處的導數值，這里就是構造一個主元Δx，通過研究Δx→0時的極限值表達了切線斜率的定義.換句話說，把原主元x作為參數，重新構造一個主元Δx，研究Δx無限接近某一個值時，以Δx為主元的函數g（x，Δx）的極限值仍為含參數（原主元x）的表達式f′（x），并通過研究新函數f′（x）性質達到對應原函數f（x）的性質的目的.
　　例5：f（x）=f（0）=1，f（2x）-f（x）=x，求f（x）.
　　很顯然，待定系數法設出二次函數f（x）=ax+bx+c不是嚴格的.
　　而我們知道，以x為主元的函數f（x）的極限值即為函數值 f（0），而如果沒有解析式，無果.故可考慮重新構造主元n，而x為參數，例解如下.
　　解：由f（2x）-f（x）=x，可得
　　f（x）-f（）=，f（）-f（）=，…f（）-f（）=，
　　累加可得f（x）-f（）=++…+=x=（1-），
　　即f（x）=f（）+（1-），則f（x）=f（）+（1-）=f（0）+=+1.
　　再如：（06清華自招）已知函數f（x）滿足：對任意實數a，b有f（ab）=af（b）+bf（a），且|f（x）|≤1，求證：f（x）恒為0.
　　思路1：令a=b=x，則f（x）=2xf（x），歸納可得f（x）=nx f（x），即f（x）=，
　　當|x|＞1時，f（x）==0；
　　當|x|＜1時，由f（1）=f（x?）=xf（）+f（x），且易知f（1）= f（-1）=0，又|x|＞1時，f（x）=0，此時＞1，則f（）=0，故可得到 |x|＜1時，f（x）=0.
　　思路2：設b=x，以a為主元.由f（ax）=af（x）+xf（a）可得=-，
　　則=-=0.
　　主元的確立應為解決數學問題的核心目標，只有精確地找準主元，才能更高效、更本質地運用數學方法解決問題，通過本文的例證，筆者相信“確立主元”也將被定為數學思想之