如何在幾何教學中培養學生的推理能力

　　推理能力包含合情推理能力與演繹推理能力，其實在《高中數學課程標準》中，也提出了合情推理、演繹推理兩個概念，因此從義務教育階段開始，我們就要關注這兩種能力的培養。
　　一、合情推理和演繹推理的含義及重要意義
　　實際上自從標準實驗稿進入試驗區之后，老師就開始重視合情推理了。合情推理，一般包括歸納和類比，演繹推理一般就是從基本事實出發，推出來一些定理，它們再作為推理的出發點，來進行論述。我們在判斷一個命題是否正確的時候，首先運用合情推理的方法，包括直觀、操作、猜測，然后得出假設。這些假設是否能成立呢？我們就需要用演繹推理的方式去進行證明。所以合情推理往往是一種發現的方法和手段，而演繹推理是一種證實的手段，它們相輔相成，共同完成對一個命題的認識。我們在生活當中，也用到很多的合情推理，如在統計當中，在代數當中，都用到很多合情推理。
　　美國有一位數學家和數學教育家叫波利亞，他寫了這樣一本著作叫《數學與猜想》，在這本書的序言中，他有這樣一段話說得特別好，他說作為以后要想把數學作為自己終身職業的人，他應該學習演繹推理，因為這是這門學科的一個特點，當然他還要學習合情推理，因為這是使得他的研究工作能夠得以進行的一種推理形式。如果你不是把數學作為自己終身職業的人，同樣也要學習演繹推理，因為學習了演繹推理，你就獲得了一種標準，這個標準就可以用來衡量日常生活中我們碰到的一些事情。更應該要學習合情推理，因為在他的日常的生活當中，方方面面都要用到合情推理。波利亞很辯證地把這兩種推理形式，對于一個無論是以后做數學的人，還是不做數學的人，它的重要性都闡釋得很充分。所以合情推理對于我們每個人都是很重要的。是不是合情推理這個詞就是從波利亞的類比推理和歸納推理來的呢？是的，英文翻譯過來可能就是合情推理，當然我們更多指的是類比和歸納，當然這里面還有其他直覺的、經驗的成分，包括特殊化和一般化。總而言之，就是經過一些合情合理的一些判斷，得到一個可能性的猜測，這樣一個思維過程就是一個合情推理的過程。當然合情推理會有從特殊到一般，或者從一般到特殊等不同的思維形式。在以往我們的數學教育中，可能還是對演繹推理關注得多，但我們越來越認識到合情推理和人的創新意識與實踐能力的培養，聯系得非常密切，所以這次課程改革，在課程里面明確地提出來，要培養學生的合情推理能力。
　　二、培養學生的合情推理和演繹推理能力的策略
　　這個合情推理，在我們日常對人的發展過程中的作用是非常大的，不專門從事數學，可能很少有機會接觸嚴格的演繹推理，但是合情推理它卻要經常使用到。我們日常生活中的很多現象，其實往往都是由合情推理得來的，比如有這樣一句諺語：“八月十五云遮月，正月十五雪打燈。”你說這個生活經驗和常識的積累，我們怎么用演繹的方法去證明呢，它就是由合情推理產生的，但是它卻能夠指導我們很多的生活實踐。所以在日常的教學中，我們要讓學生大膽地去發現、大膽地去歸納，大膽地去猜想。我們在課堂上通過動手操作，通過發現，通過靈機一動感悟到的東西，一定要大膽地說出來，敢于去猜，你才能邁出研究的第一步。這之后，再利用演繹的方法去從邏輯上去證明，也就有的放矢了。所以在咱們日常的教學過程當中，千萬不要把合情推理作為演繹推理的一個簡短的前奏，很快過渡到所謂的“主旋律”了。
　　合情推理的落實，跟老師自身對問題的設計也是很有關系的。如果我們只設計一些學生一看就很容易知道結論的問題，他就會覺得老師設計的這個合情推理環節很假，時間長了就對合情推理的環節提不起興趣。如果我們能夠設置好的問題情境，給他一個很開闊的空間，才能夠感受到合情推理的價值和意義所在。比如說在學習三角形中位線定理時，我們可能遇到過這樣的問題——畫一個任意的四邊形，連接這個四邊形四邊中點，得到了一個我們叫做中點四邊形的圖形。同樣是這個素材，如果讓學生求證這個中點四邊形是一個平行四邊形，很快就會過渡到演繹推理；可如果提出一個更開放性的問題：“同學們觀察我們新得到的這個四邊形你覺得它的形狀有什么特點，可能是怎樣的四邊形呢？”那學生可能就要通過很多的手段——直觀的觀察、測量、猜想等一系列手段去思考，而這個問題又不像有一些問題那么膚淺，它確實有一定的思考空間，真得琢磨琢磨。只有通過觀察、測量、想象，才會產生它可能是平行四邊形的猜想，這個過程就顯得更真實。有了這樣一個過程，再提問：“為什么它是一個平行四邊形？”通過連接對角線的輔助線，構造三角形的中位線，逐漸把這個問題證明了。當然這樣的例子不止一個，我們應該更多地去挖掘。
　　其實在代數的學習當中也有類似的例子，例如，先觀察下面算式：152-112=104，92-72=32，132-72=120……能不能自己也寫一個跟它們有同樣規律的算式呢？能不能用字母來表達剛才所呈現出規律呢？能不能證明剛才你所猜想的規律呢？實際上當這些算式共同的規律就是奇數的平方差，它們結果都是8的倍數。然后我們用字母2m+1和2n+1來表達這兩個奇數，要做適當的變形，最后得出它含有8這個因數。這個問題是由一些特殊的例子得到的一些特殊的規律，盡管前要求學生再舉幾個例子，但都不能替代證明。
　　三、在數學教學中培養學生推理能力應遵循的原則
　　許多老師在平時的教學過程中可能有這樣的體會——學生的推理能力一時半會兒培養不起來。所以在教學中千萬別著急，一定要遵循循序漸進的原則。很多老師在七年級一接觸幾何就馬上開始學演繹證明，但實際上我們走得太急了反而容易摔跤，因此推理能力的培養要有層次性，先讓學生看到現象能夠初步地說明道理，由此出發再慢慢地規范化、形式化，再變成證明，一點一點走可能會走得更扎實一點。所以我建議大家在平時的教學過程當中，把推理能力貫穿到每個領域、貫穿到每一節課當中，不能一蹴而就，得有耐心。
　　其實許多核心概念跟知識技能的學習不一樣，一定要在一個過程中慢慢地去體會，慢慢地去滲透。所以老師如果試圖將某種能力落實在一節課中，這就錯了，有些能力并不是老師教出來的，實際上是學生通過不斷地在解決問題的過程中慢慢感悟出來的，教師在教學中必須有耐心。