現行高考要求下的復數教學

　　《數學課程標準》對復數的概念與運算的要求是：理解復數的基本概念、復數代數形式的四則運算法則，在復數概念與運算的學習中，應注意避免繁瑣的計算與技巧的訓練.縱觀近幾年各省市高考試題，不難發現，復數的考查要求趨于平穩，出現難題的可能性不大，僅僅局限于基本概念和基本運算，試題以小題為主，因此也給我們的學習和復習指明了方向，夯實雙基不求難，抓好本質是關鍵.下面結合具體例題說明.
　　一、復數的概念
　　例1：已知m∈R，復數z=+（m+2m-3）i，當m為何值時，①z∈R；②z是純虛數；③z對應的點位于復平面的第二象限.
　　分析：本題是對一個復數為實數、純虛數的充要條件及復數與復平面上的點對應關系的考查.
　　解：①由m+2m-3=0且m-1≠0得m=-3，
　　故當m=-3時，z∈R；
　　②由=0m+2m-3≠0，解得m=0或m=2，
　　故m=0時或m=2時，z是純虛數；
　　③由＜0m+2m-3＞0，解得m＜-3或1＜m＜2，
　　故當m＜-3或1＜m＜2時，z對應的點位于復平面的第二象限.
　　評注：掌握復數的分類是解決本題的關鍵，復數與復平面上的點是一一對應的，這是形與數之間的相互轉化，為解決形與數的問題提供了一條重要思路.
　　二、復數的運算
　　例2：計算.
　　分析：本題是復數的除法運算，它是作為乘法運算的逆運算來定義的，因此定義本身就提供了求兩個復數商的一種常見方法——待定系數法；另外將復數的分母實數化也可以將復數的除法轉化為復數的乘法.下面看這兩種解法.
　　解法一：設=x+yi（x，y∈R）
　　則（3+4i）（x+yi）=2-i，即（3x+4y）+（3y-4x）i=2-i
　　所以3x+4y=23y-4x=-1
　　解得x=y=
　　即=+i
　　解法二：===+i
　　評注：復數代數形式的運算主要是指四則運算，計算法則類似于多項式運算，容易記憶和把握.常見的運算公式有：設z=a+bi，z=c+di（a，b，c，d∈R），則：
　　（1）z±z=（a+b）±（c+d）i；
　　（2）z?z=（a+bi）?（c+di）＝（ac-bd）+（ad+bc）i；
　　（3）z÷z==+i（z≠0）.
　　對這些公式要了解，同時熟記一些結論如、-+i有關的結論等，可以簡化運算，提高解題速度.
　　三、概念與運算綜合
　　例3：已知復數z滿足|z|=5，且（3-4i）z是純虛數，則z=?搖?搖?搖 ?搖.
　　分析：本題是復數的模，純虛數的概念及相關運算方案的選擇的綜合考查，解題時抓住純虛數這一關鍵詞，從純虛數方面突破可以簡化我們的運算.
　　解：因為（3-4i）z是純虛數，所以可設（3-4i）z=ti（t∈R）.
　　z=，∴|z|==5，∴|t|=25，∴t=±25，∴z==±i?（3+4i）=±（-4+3i）.
　　評注：把（3-4i）z看做一個整體解題，要比復數實數化設z=a+bi（a，b∈R）再代入運算，用（3-4i）z=3a+4b+（3b-4a）i為純虛數得到a，b的一個關系式與|z|=5聯立方程解出要準確快捷得多，當然我們在做題時如果沒有想到設整體為ti，那復數實數化的解決這類題目的一般方法務必掌握.
　　四、復數方程
　　例4：若復數z滿足z=i（2-z）（是虛數單位），則z=?搖?搖?搖 ?搖.
　　分析：本題是以復數為變量的一個方程，我們可以用解決一元一次方程的思想來處理或用復數實數化這一通法來解決.
　　解法一：∵z=i（2-z）
　　∴z（1+i）=2i
　　∴z====1+i
　　解法二：設z=a+bi（a，b∈R）
　　∵z=i（2-z）
　　∴（a+bi）=i（2-a-bi）
　　∴（a+bi）=b+（2-a）i
　　故根據復數相等的充要條件得：a=bb=2-a，即a=1b=1，故z=1+i
　　評注：兩種方法中法一的變形要求較嚴格，法二利用復數相等可以化“虛”為“實”實現化歸和轉化，能作為整體利用較方