淺談用辯證思想求解數學題

摘 要：從具體與抽象，特殊與一般，靜止與運動，整體與局部的辯證思想中找到解決數學問題的方法。

關鍵詞：辯證思想

中圖分類號：O1 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2012）12（a）-0216-01

數學中充滿著矛盾，也處處滲透著辯證法。于是解決矛盾的過程不但是一個運用辯證法的過程，也是推動數學向前發展的過程。因此，在中學數學教學中，教師要善于引導并培養學生學會運用辯證的思想方法來探索問題、研究問題、解決問題。本文就如何運用辯證思想解決數學問題談點淺見。

1 具體與抽象的辯證關系

把抽象的問題同相應的感性經驗材料聯系起來，使得數學問題具體化、直觀化，通過具體直觀的性質，使問題的解決過程變得簡單化。

例1：定義在實數集R上的奇函數為增函數，偶函數在區間的圖像與的圖像重合，設，給出下列不等式：

分析：這是一道高考題，是當年的難題；因為本題的函數比較抽象，直接來做困難很大，如果將滿足題設的函數具體化，問題方便得解。令代入檢驗可選。

2 特殊與一般的辯證關系

Wa8jhH8J0pctMO9659mFgkPL4N9mfygCj9UhGASgRJA=抓住問題的特殊性，利用特殊元素、特殊位置，優先處理或合理分類，使問題的解決一目了然，條理清晰，思路清楚。

例2：已知是兩個公比不想等的等比數列，，證明：不是等比數列。（2000年高考題）

分析：欲證不是等比數列，只需證明中某連續三項不成等比即可。

設的公比分別為，因為：

=

=，

又，故不成等比數列，所以不是等比數列。

特殊問題與一般問題不是截然劃分的，從辯證的角度看，一般問題的解決有賴于從特殊問題的思考中發現線索；一般問題解決以后，又可以解決更多、更新的特殊問題。

例3：比較兩個冪20112012和20122011的大小。

分析：由于數據較大，計算困難，把問題一般化，考察函數，可以證明，當時是減函數，問題立刻解決。

3 靜止與運動的辯證關系

辯證法告訴我們，運動是絕對的，靜止是相對的，它們在一定條件下可以互相轉化，我們要善于利用動與靜之間的辯證關系去指導解題。

例4：解方程

分析：這是無理方程，按常規要經過兩次移項且兩邊平方才能全部脫去根號，轉化為有理方程，運算復雜。若把方程轉化為，令，則方程可以轉化為橢圓方程，由相關理論得到橢圓的標準方程，可方便得到。

解決運動型問題，要善于在運動中發現靜止，以靜制動，使問題得到解決。

例5：已知圓C：直線

，求證：對任意實數k，與圓C總有兩個交點。

分析：通常總是用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小來判定，用算量大，十分麻煩，若挖掘直線中靜止的因素，可獲得簡潔解答。

的方程用直線系可表示為：，顯然直線恒過直線和的交點，而P點在圓內，故直線與圓C總有兩個交點。

4 整體與局部的辯證關系

有些數學問題，如果只在整體或局部中周旋，往往思維雜亂，難以獲解。這時若能從整體深入到局部或把局部拓展為整體，解題思路會豁然開朗。

例6：已知，且+，

求證：+

分析：本題若從整體上思考，則難以下手，但若局部考慮，各個擊破，很快獲證。

因 …，

把上列各同向不等式相加，再利用：

即可獲證。

有些問題局部解決較為棘手，若整體思考，則會柳暗花明。

例7：設分別為三角形的三條邊長，求證：

分析：此問題的難點是分母是一個多項式，難以入手；如果把分母看作整體，

令：，則，可得到：

，式左=

·

，顯然當時等號成立。

參考文獻

[1]鄭洪浩.運用轉化思想求解數學題[J].連云港師范高等專科學校學報，2002（4）：64-65.

[2]王英明.辯證思想在數學解題中的運用[J].數學大世界：初中版，2012（Z1）：48.