微分方程應用舉例

摘 要：通過舉例給出了微分方程在實際中的應用，從而使學生易于理解和掌握微分方程概念及理論。

關鍵詞：微分方程 應用

中圖分類號：O175 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2012）12（a）-0215-01

微分方程指的是，聯系著自變量，未知函數及它的導數的關系式子。微分方程是高等數學的重要內容之一，是一門與實際聯系較密切的一個內容。在自然科學和技術科學領域中，例如化學，生物學，自動控制，電子技術等等，都提出了大量的微分方程問題。在實際教學過程中應注重實際應用例子或應用背景，使學生對所學微分方程內容有具體地，形象地認識，從而激發他們強大的學習興趣。

1 應用問題舉例

1.1 生態系統中的弱肉強食問題

在這里考慮兩個種群的系統，一種以另一種為食，比如鯊魚（捕食者）與食用魚（被捕食者），這種系統稱為“被食者—捕食者”系統。

Volterra提出：記食用魚數量為，鯊魚數量為，因為大海的資源很豐富，可以認為如果，則將以自然生長率增長，即。但是鯊魚以食用魚為食，致使食用魚的增長率降低，設降低程度與鯊魚數量成正比，于是相對增長率為。常數，反映了鯊魚掠取食用魚的能力。如果沒有食用魚，鯊魚無法生存，設鯊魚的自然死亡率為，則。食用魚為鯊魚提供了食物，致使鯊魚死亡率降低，即食用魚為鯊魚提供了增長的條件。設增長率與食用魚的數量成正比，于是鯊魚的相對增長率為。常數>0，反映了食用魚對鯊魚的供養能力。所以最終建立的模型為：

這就是一個非線性的微分方程。

1.2 雪球融化問題

有一個雪球，假設它是一個半徑為r的球體，融化時體積V的變化率與雪球的表面積成正比，比例常數為>0，則可建立如下模型：

1.3 冷卻（加熱）問題

牛頓冷卻定律具體表述是，物體的溫度隨時間的變化率跟環境的的溫差成正比。記T 為物體的溫度，為周圍環境的溫度，則物體溫度隨時

2 結語

文中通過舉生態系統中弱肉強食問題，雪球融化及物理學中冷卻定律問題為例給出了微分方程在實際中的應用。在講解高等數學微分方程這一章內容時經常舉些應用例子，能引起學生對微分方程的學習興趣，能使學生易于理解和掌握其基本概念及理論，達到事半功倍之效。

參考文獻

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