線性代數教學中需要解決的幾個關鍵問題

　　摘 要： 《線性代數》是高等院校一門的重要基礎課程，具有較強的邏輯性、抽象性。本文就在線性代數的教學中如何與中學代數緊密銜接、如何確定線性代數的主線及如何闡明線性代數的思想三個問題，給出了一些建議。
　　關鍵詞： 線性代數 中學代數 主線 思想方法
　　線性代數是現代數學的一個重要的分支，它主要研究有限維線性空間中的線性關系和數組間的運算關系。線性代數為現代數學、現代物理學、現代化學、計算機科學、現代通信等提供了重要的結論和研究方法。在當今信息時代，線性代數有了越來越廣泛的應用，它已成為工科類本科的主干基礎課之一。如何教好這門課呢？筆者根據自己在講授線性代數課的體會，認為在教學中應該需要解決好以下三個關鍵問題。
　　1.如何與中學代數緊密銜接
　　中學代數主要是常量代數，研究的多是常量的定量計算，其教材難度較小，且表述較具體形象，容易理解和接受。線性代數與中學代數相比，具有極強的邏輯性和抽象性。如果不能很好地解決線性代數與中學代數的銜接問題，勢必會造成大一學生的諸多不適應。針對這個問題，我們應從中學代數中最基本的解二元一次方程組的消元法引出矩陣及矩陣初等變換的概念，這些概念和方法既與中學代數緊密相連，又貫穿于線性代數這門課程的始終，并讓學生明白解線性方程組是線性代數解決的主要問題之一。這樣可以與中學代數緊密銜接，讓學生感覺到線性代數與中學代數的緊密聯系，并且增強學生學習線性代數的動力和興趣。
　　2.如何確定線性代數的主線
　　線性代數課程中表面看起來概念多、定理多、符號多、運算規律多、計算麻煩，且前后內容相互縱橫交錯，對于初學者來說會覺得有些難度。因此如何從縱橫交錯的內容中確定出主線，找出前后知識的緊密聯系，是在教學過程中必須解決的重要問題之一。（1）第一條主線——線性方程組。線性方程組是產生線性代數這門課程的原動力，對它的研究促成了行列式和矩陣理論的發展。行列式是線性代數一個重要的概念，它廣泛2a23130a99b89ce727cb8bcf6d1db90823bec08bc1bb53ab36fb24e3900ebd53應用于數學、工程技術和經濟學等領域。中學代數已經講過二元一次、三元一次方程組（方程的個數和未知量的個數相等）的消元解法，而對于方程的個數和未知量的個數相等的一般線性方程組，應該怎樣求解呢？為此引入行列式的概念，進而給出求此類線性方程組的一個重要法則——克拉默法則。因此行列式出現于線性方程組的求解。而克拉默法則對于方程的個數和未知量的個數不相等的線性方程組就不適用了，這時我們就需要引入矩陣這個工具。為了給出一般線性方程組的求解方法，引入矩陣的秩的概念和矩陣的初等變換，通過對增廣矩陣施行初等行變換得到方程組的通解，并利用矩陣的秩的定義給出線性方程組有解的充要條件。對任何一個線性方程組，在有解的情況下，我們都能利用初等變換求出它的全部解。那么在線性方程組有無窮多個解的情況下，解與解之間的關系又如何呢？能不能利用有限個解去表示這無窮多個解呢？而要解決這兩個問題，我們又必須討論向量組的線性相關性的有關理論。向量組的線性相關性和線性無關性不過是把線性方程組有無非零解換成另一種說法而已。因為向量組的線性相關等價于齊次線性方程組有非零解。一個向量可由另外一個向量組線性表示的充要條件是由這些向量構成的線性方程組有解。為了利用線性方程組的有限個解去表示無窮多個解，我們需要掌握向量組的極大無關組這個概念，而用極大大無關組表示其余向量本質上就是同時解若干個非齊次方程組。最終利用向量組的線性相關性的理論研究線性方程組的解的結構，從而完善線性方程組的理論。由此可見，線性方程組這條主線將行列式、矩陣和向量組合理地聯系起來。（2）第二條主線——實二次型化成標準形。在解析幾何中，為了便于研究二次曲線的幾何性質，可以做適當的坐標變換，將方程化為只含有平方項的形式，通過這種形式我們可以很方便地識別曲線的類型，研究曲線的性質。而在科學技術和經濟管理領域中也會遇到這樣類似的問題：要把二次型通過變量的線性變換化簡為只含有平方項的形式，即將二次型化為標準形。而為了完成這一工作，我們就需要引入矩陣的特征值和特征向量的概念，進而研究矩陣對角化的條件，重點討論實對稱矩陣可對角化，為將二次型化為標準形做好準備。有了前面的知識準備，我們可以給出三種二次型化為標準形的方法，重點討論用正交變換化二次型為標準形的方法。因此，線性代數的后兩章是以實二次型化成標準形為主線展開討論，這樣就將矩陣的特征值和特征向量、矩陣可對角化及二次型理論有機地聯系起來。由上可見，通過解線性方程組和實二次型化成標準形這兩條線，可將線性代數課程的主要知識點合理地組織起來。學生抓住這兩條主線，能從整體上更清楚地把握線性代數課程的思想和方法，讓老師和學生在教與學的過程中做到有的放矢。
　　3.如何闡明線性代數的思想
　　線性代數具有極強的邏輯性和抽象性，而這門課程主要面對的是應用型本科學生，那么如何做到既能闡明線性代數的主要思想，又能讓工科學生容易接受，這是一個值得探究的問題。筆者認為在教學過程中應該通過大量的例題來闡明線性代數的思想。例如我們在講解行列式的概念時，用平行四邊形的面積和平行六面體的體積的例子來引出二階和三階行列式的概念，這樣可使學生領會到行列式的理論與幾何理論的關系，把行列式用形象的幾何圖形來描述，讓學生了解行列式定義的由來和相關的背景。這樣就把很抽象的行列式的概念變得具體化，讓學生能較直觀地理解概念，并能靈活應用。又如通過求向量組的秩與極大無關組，并將該向量組中其余向量用此極大無關組線性表出這樣一個例子可以體現出線性代數中的化歸思想。我們可將該問題化歸為線性方程組的求解問題，而用矩陣的行初等變換求解線性方程組，因為它易于理解且操作性強，所以只要弄清楚線性方程組的求解問題，向量組極大無關組的問題也就迎刃而解了。我們在講行列式的定義時，首先會講2階的行列式是2項的代數和，每項為行列式中不同行不同列的2個元之積，且將每項元素按行下標自然順序排列，列下標的逆序數決定該項的正負號；3階的行列式是6項的代數和，每項為行列式中不同行不同列的3個元之積，且將每項元素按行下標自然順序排列，列下標的逆序數決定該項的正負號。同樣，可類比思考4階行列式的定義，進而讓同學自己給出階行列式的定義。由直角坐標系下幾何向量的長度、夾角、內積、距離公式類比推出規范正交基下維歐氏空間中向量的長度、夾角、內積、距離公式。我們在教學過程中，通過大量例題來闡明線性代數的抽象化思想、化歸思想、類比思想等思想方法，既有利于培養學生的探究和創新能力，又能增強應用型本科生學習線性代數的興趣。結合線性代數中的這些思維方法，學生可在此啟發下對高等數學、概率論及數理統計的某些內容進行相同的分析，產生濃厚的學習興趣。
　　在線性代數的教學過程中，如果我們能解決好以上三個關鍵問題，相信教學效果會有明顯的改善，而學生也會學得更加輕松快樂。
　　參考文獻：
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