在高中數學課堂教學中如何引導學生思考問題

　　摘 要： 在平時的課堂教學上，我們重復著一樣的工作，卻總能見到不一樣的精彩，讓我們感動，讓我們驚喜，給我們的枯燥無味的教學帶來極大的安慰。本文講的就是一次課堂上遇到的讓作者感受較深的事例，從中認識到教師要充分發揮教材中例題、習題的教學價值，培養學生在探究中發現，在探究中創造，學會數學地思考。
　　關鍵詞： 高中數學課堂教學 引導探究 轉化
　　《數學新課程標準》強調：教師要能轉變教育觀念，教學方法，鼓勵學生質疑問題，探究思考，讓學生感受和體驗數學知識產生，發展和應用過程。啟發學生發現問題和提出問題，善于獨立思考，使數學學習成為再發現再創造的過程。而教材中的例題、習題具有很高的教學價值。如何充分發揮教材中例題、習題的教學價值是中學數學中一個重要的問題。下面就是一次課堂上遇到的讓我感受較深的事例。
　　例題：已知圓C：x+（y-3）=4，一動直線l過點A（-1，0）與圓C相交于P、Q兩點，M是PQ的中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于點N.
　　（1）求證：當l與m垂直時，l必過圓心C；
　　（2）當PQ=2時，求直線l的方程；
　　（3）探索?的值是否與直線l的傾斜角有關，若無關，請求出其值；若有關，請說明理由。
　　前兩個問題，學生很快給予了正確的解答。到了第三個問題，學生愣住了。于是我略加引導，讓學生想辦法求向量、，于是，下面立刻有學生附和，設出直線l的方程，分斜率存在和不存在兩種情況，求出直線l于直線m的交點；再利用直線l與圓方程聯立，結合根與系數的關系及中點坐標公式求出M點坐標，則M、N點坐標都與直線的斜率k有關，再化簡向量、的式子看是否與k有關，同學們表示贊同和認可。于是我說，請大家試試看。
　　學生提筆剛寫了幾步，就產生了煩躁的情緒，太難計算了，我看效果達到了，于是叫停了同學，準備再次引導。我問：在這個問題中要求出M、N點坐標確實困難，尤其是M點的坐標，就算兩個都求出來了，下面的向量運算量也不小，那么能不能轉化一個，求一個，學生通過剛才的幾步計算感到有些絕望，而聽我這么一說，學生們又看到了希望，于是勁頭十足地去尋找課轉化的條件。于是幾個頭腦靈活的學生很快發現了M點是圓C的弦的中點，所以連接圓心C，得到CM⊥MN。那又有什么用呢？學生再次沉默，于是我提議，讓學生看看向量可轉化為什么？學生立刻明白了，原來是將向量轉化為+，于是有：?=（+）?=?+?=?.顯然到此，將剛才的求M、N點坐標的問題，轉化為只求N點坐標的問題，簡單多了。
　　具體解法：∵CM⊥MN，∴?=（+）?=?+?=?.
　　①當l與x軸垂直時有N（-1，-），∴=（0，-），
　　又=（1，3），∴?=?=-5.
　　②當l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x+1），
　　則由y=kx+1，x+3y+6=0，得N（-，），則=（-，-）.
　　所以?=?=-5.
　　綜上，可知?的值與直線l的斜率無關，因此與傾斜角也無關，且?=-5.
　　題目解完了，看著學生們臉上的表情，我知道在我的一再引導下，學生通過靈活地向量轉化，繞開了繁瑣的計算，并真正理解了此問題。我正在暗自高興，一個學生舉手并站了起來說：老師，其實這道題根本一個點都不要求，就是說向量也可以轉化成已知的點和向量問題。其他學生也來勁了，我當然愿意讓他說完。學生繼續說，由直線m的方程可知斜率為-1/3，而直線AC所在直線的斜率很容易通過計算為3，于是直線AC與直線m是垂直的，所以設直線AC交直線m于E點，則：=+，于是，?=?=?（+）=?+?=?（∵AC⊥EN）.到此，我和其他同學都表示贊同，下面讓學生們迅速計算，直線AC∶y=3x+3，則
　　y=3x+3x+3y+6=0?圯E（-，-）
　　∴=（1，3），
　　=（-，-）
　　∴?=--=-5
　　學生們開心地笑了，很激動，從開頭的那樣困難的計算到最終的如此簡單，這就是數學的美，真正讓學生們體會了轉化思想在平時做題中的重要性。還有一個同學意猶未盡，他解釋了為什么是定值：
　　因為?=||?||?cos（π-∠EAN）=-||?||cos∠EAN，因為||為定值，所以上式要是定值，只有||cos∠EAN是定值，而||cos∠EAN是在上的射影。
　　因為N點是在直線m上運動的，所以只有當直線m與直線CA垂直的時候，射影才不變，所以想到了要尋找直線m于直線CA垂直的條件。于是才有了剛才那位同學的解法，比較深奧，有不少同學沒有聽懂，不過我還是給予了這個同學肯定的評價。
　　通過這節課，我深深地感受到，平時教學中，要不斷地引導學生思考問題，同時要大膽地給學生思考問題的時間。事實證明，給學生一個舞臺，學生的展示能超出我們的想象，讓課堂更精彩。
　　參考文獻：
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