三角形角平分線與各邊的長度關系

　　摘 要： 本文介紹了一個新的、巧妙的方法，僅利用三角形三邊的數據即可直接計算出其任意一角平分線段的長度，從而彌補了關于角平分線知識點的空缺，避免對三角形角平分線的繁瑣測量.
　　關鍵字： 三角形角平分線 各邊 長度關系
　　一、研究意義
　　如今，有各種各樣的建筑和設計都涉及了三角形，因為三角形是最穩定的圖形。為了使建筑更為美觀，在其中也會涉及三角形的一個重要部分——三角形角平分線.在實際建造時，經常需要對三角形的三邊及角平分線進行測量.
　　在數學教材關于三角形角平分線的內容中，其只指出三角形角平分線分對邊與各邊的比例關系，即三角形角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例.但是，對于三角形一角平分線段的長度的推算，數學教材或相關資料中并沒有涉及.本文介紹了一個新的、巧妙的方法，僅利用三角形三邊的長度就可以直接計算出任意角平分線段的長度，從而避免對三角形角平分線的繁瑣測量.
　　二、三角形角平分線與各邊的長度關系
　　如圖所示，對于任意△ABC，AD為∠A的角平分線，AD交BC與D點，則有AB?AC=AD+BD?DC，即AD=.
　　三、以上關系的證明
　?。ㄒ唬┧枚ɡ恚?br/>　　①同弧或等弧所對的圓周角相等；
　　②相似三角形性質；
　?、蹐A內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的乘積相等.
　?。ǘ┳C明：
　　如圖，對于任意的△ABC都可以作出其外接圓⊙O，然后作出∠A的角平分線，分別交BC、⊙O于D、E.
　　∵公共
　　∴∠C=∠E①
　　又AE平分∠BAC
　　∴∠BAE=∠EAC
　　∵∠C=∠E，∠BAE=∠EAC
　　∴△ABE～△ADC②
　　則=
　　則AB?AC=AE?AD
　　=（AD+DE）AD
　　=AD+AD?DE
　　又AD?DE=BD?DC③
　　∴AB?AC=AD+AD?DE=AD+BD?DC
　　所以則有AB?AC=AD+BD?DC
　　變化得AD=
　　得證.
　　四、實際運用
　　實際生活中，三角形建筑繁多.在測量時，三角形三邊長度比較容易測量，但角平分線的長度難以測量.以上關系式就可以避免此類麻煩，通過測量各邊的長度，就直接計算出角平分線的長度.
　　例如：如圖所示，某公園的矩形湖面有兩座觀景橋AB和AC.為了吸引更多游客前來游玩，公園今年擬建第三座觀景橋AD，且AD為∠ABC的角平分線.觀賞橋AB、AC、AD共用同一橋墩A在湖的一側，橋墩B、D、C分別在湖的另一側，且B、D、C沿湖岸在同一條直線上.現用專業儀器精確測得觀景橋AB長50米，觀賞橋AC長40米，兩橋墩BC間相距63米.為了確定觀賞橋AD的建造所需材料，預計觀景橋AD的長度為多少？
　　解：根據三角形角平分線定理（三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例）
　　===
　　又BC=63
　　則BD=63×=35
　　DC=63×=28
　　根據本文中三角形角平分線與各邊的長度關系
　　則AD=
　　≈31.94
　　所以，觀景橋AD長31.94米.
　　三角形角平分線與各邊長度的關系可以運用于生活中.在它身上或許還有更多的奧秘等待我們去探索，以更好地讓它為人所用，為我們解決更多問題，更好地造福我們的生