一道數學趣題的解法淺探

　　在數學興趣小組的活動中，顧老師給我們出了這樣一道題：
　　題目很簡單，過程稍復雜，同學們，看招：哥哥叫弟弟計算兩個整數的平方和，弟弟給出答案2012. 哥哥說，錯了.你能證明弟弟算錯了嗎？
　　略加思索，我就在紙上算了起來.
　　解：假設存在這樣的兩個數，它們的平方和等于2012.
　　因為02=0，12=1，22=4，32=9，42=16，52=25，62=36，72=49，82=64，92=81．
　　所以，一個數的平方，個位上的數只能是0，1，4，9，6，5．
　　又因為2012的個位是2，所以這兩個數平方后個位上應該都是1或都是6．所以這兩個數只能有下面6種可能：
　　{1}個位上都是1的兩個數；{2}個位上都是9的兩個數；{3}個位上是1和9的兩個數；{4}個位上都是4的兩個數；{5}個位上都是6的兩個數；{6}個位上是4和6的兩個數．
　　先看情況{6hd3Xu+apst5m/6oBUfmQcA==}：假設這兩個數為10x+4和10y+6，列方程得：
　　（10x+4）2+（10y+6）2=2012（x、y均為整數）．
　　整理，得：5（x2+y2）+2（2x+3y）=98．
　　分三種情況討論：
　　當x和y為一奇一偶兩個數時，5（x2+y2）為奇數，方程5（x2+y2）+2（2x+3y）=98的左邊為一奇數，右邊為一偶數，所以無整數解．
　　當x和y為兩個奇數時，設x=2m+1，y=2n+1，代入方程5（x2+y2）+2（2x+3y）=98，整理得：10（m2+m+n2+n）+2（2m+3n）=39．此方程左邊為一偶數，右邊為一奇數，所以m、n無整數解．
　　當x和y為兩個偶數時，同理可得，方程5（x2+y2）+2（2x+3y）=98也無整數解．
　　所以，方程（10x+4）2+（10y+6）2=2012無整數解．
　　同理可得，方程（10x+1）2+（10y+1）2=2012，（10x+9）2+（10y+9）2=2012，
　　（10x+1）2+（10y+9）2=2012，（10x+4）2+（10y+4）2=2012，（10x+6）2+（10y+6）2=2012也無整數解．
　　綜上所述，不存在這樣的兩個整數，它們的平方和等于2012，所以弟弟肯定算錯了．
　　我作出了上面的解答. 顧老師說：“按照通常的數學思維和邏輯，這樣的解法無可厚非，但總感覺復雜繁瑣，我們先來看看下面一題：有沒有這樣的兩個整數，它們的平方和等于2013，2014，2015……？”
　　這道題不就是要問至少還要過幾年，年份數才可以分解為兩個整數的平方和嘛，解答就更難了，所要證明無整數解的方程也太多了，這許多方程能不能單憑“奇數偶數”說明有無整數解，我也不敢貿然肯定．這時，顧老師提醒道：其實，我們可以換一種思路來解答這些問題：
　　因為452=2025，442=1936，322+322=2048，322+312=1985．我們可以借助計算器將下列等式補充完整，橫線上都填整數，但等號后面必須填大于或等于2012的最小整數：
　　452+02=2025．442+ ___2=___．432+___2=___．422+___2= ___．
　　412+___2=___．402+___2=___．392+___2=___．382+___2=___．
　　372+ 2=___．362+___2= ___．352+___2=___．342+___2=___．
　　332+___2=___．322+322=2048．
　　計算結果為：
　　452+02=2025．442+92=2017．432+132=2018．422+162=2020．
　　412+192=2042．402+212=2041．392+232=2050．382+242=2020．
　　372+262=2045．362+272=2025．352+292=2066．342+302=2056．
　　332+312=2050．322+322=2048．
　　顯而易見，等式右邊沒有2012，2013，2014，2015，2016，最小的數是2017，且2017=442+92，也就是說，至少還要過5年，年份數2017才可以分解為兩個整數（44和9）的平方和．
　　同樣的解法，我們也可以很輕松地找到2000年至今，可以分解為兩個整數的平方和的年份數：
　　2000=442+82=402+202．
　　2005=412+182=392+222．
　　2009=352+282．
　　換一種思路，往往可以找到通向成功的捷徑，解數學題又何嘗不是如此！■
　　（指導老師：顧