狄拉克函數(shù)δ(f)的作用

李澤光

（大連大學(xué) 信息工程學(xué)院, 遼寧 大連 116622）

狄拉克函數(shù)δ(f)的作用

李澤光

（大連大學(xué) 信息工程學(xué)院, 遼寧 大連 116622）

狄拉克函數(shù)δ(f)被廣泛用在信號(hào)的傅立葉變換中，但是這個(gè)函數(shù)的作用一直是人們最關(guān)心的問題，本文通過余弦信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換的分析揭示了δ(f)函數(shù)在函數(shù)中的物理意義和作用，它是自變量定位函數(shù)，另外還揭示復(fù)指數(shù)函數(shù)表示信號(hào)頻譜的意義和優(yōu)點(diǎn)。

狄拉克函數(shù)；傅立葉變換；頻譜；自變量定位函數(shù)

δ(f)函數(shù)被廣泛用在信號(hào)的傅立葉變換中，但是這個(gè)函數(shù)在函數(shù)表示中的作用一直是人們最關(guān)心的問題，本文通過余弦信號(hào)（這里以余弦函數(shù)作基準(zhǔn)，通常將正弦函數(shù)和余弦函數(shù)統(tǒng)稱為“正弦函數(shù)”）的傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換分析最終揭示了δ(f)函數(shù)的物理意義和它的作用。

1 δ(f)的定義及性質(zhì)

δ(f)函數(shù)的定義在許多參考文獻(xiàn)中都有詳細(xì)說明，這里對(duì)δ(f)函數(shù)只做簡(jiǎn)單介紹。如圖1所示，當(dāng)Δ→0時(shí)，函數(shù)p△( f)的寬度趨于零，而函數(shù)的幅度趨于無限大，但其強(qiáng)度仍為1（脈沖面積為1），這個(gè)函數(shù)就定義為單位沖激函數(shù)（或稱為狄拉克函數(shù)）用δ(f)表示，如圖2所示，即

圖1 窄脈沖

圖2 δ(f)函數(shù)

狄拉克（Dirac）給出了沖激函數(shù)另一種定義，即

說明δ(f)或δ(f-f0)函數(shù)只在一點(diǎn)有定義，另外，如果f表示信號(hào)頻率，而角頻率ω=2π f，則有

也就是說，如果用ω做自變量（坐標(biāo)橫軸用ω），ω坐標(biāo)軸相當(dāng)于比f坐標(biāo)軸壓縮2π倍，那么沖激函數(shù)δ( )ω的沖激強(qiáng)度要乘以2π。下面通過余弦信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)以及余弦信號(hào)的傅立葉變換分析來揭示δ(f)的物理意義和它的作用。

2 余弦信號(hào)及三參數(shù)

若自變量為時(shí)間t，則余弦信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式寫成：

式中c1為信號(hào)幅度（峰值），φ1為初相位，ω1為角頻率；角頻率ω1與頻率f1以及周期T1的關(guān)系為ω1=2πf1=2π/T1。對(duì)于余弦信號(hào)來說，如果知道幅度c1、初相位φ1和角頻率ω1（或頻率f1）這“三個(gè)參數(shù)”，則就知道這個(gè)余弦信號(hào)的“全部信息”了。

3 余弦信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)及頻譜

我們知道，周期信號(hào)x(t)的三角函數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)為：

余弦信號(hào)也是周期信號(hào)，它也可以寫成三角函數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)，對(duì)于式（4）表示的單一頻率的余弦信號(hào)，從（5）式中得到：

余弦信號(hào)x( t)=c1cos(ω1t+φ1)只有一個(gè)頻率f1，在頻率軸從0 HZ到∞范圍內(nèi)找到這個(gè)頻率點(diǎn)f1，以幅度和初相位為縱坐標(biāo)分別畫出這個(gè)余弦信號(hào)的幅度譜線和相位譜線，其中φ1≤π,如圖3和圖4分別表示三角函數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)的余弦信號(hào)幅度譜和相位譜，從圖3和圖4中可以得到余弦信號(hào)的“三參數(shù)”。

圖3 余弦信號(hào)的幅度譜線

圖4 余弦信號(hào)的相位譜線

如果信號(hào)x( t)含有多個(gè)頻率成分（不同頻率的余弦信號(hào)的疊加），則信號(hào)x( t)的頻譜就是將組成這個(gè)信號(hào)的所有不同頻率的余弦信號(hào)的“三參數(shù)”表示出來，周期信號(hào)的三角函數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)的頻譜是將其中的每個(gè)頻率的余弦信號(hào)的三個(gè)參數(shù)（幅度、初相和頻率或角頻率）都各自分別表示出來。

另外，傅立葉級(jí)數(shù)還有指數(shù)形式，下面我們就看看用指數(shù)形式表示有什么好處。

周期信號(hào)指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)形式為：

可以看到，用指數(shù)形式表示的好處是，每個(gè)余弦信號(hào)的“三參數(shù)”中的幅度和初相位都包含在Fn中，但這里卻出現(xiàn)了負(fù)頻率的問題，F(xiàn)n的絕對(duì)值Fn只有余弦信號(hào)幅度Cn的一半，另外一半放在負(fù)頻率處了，也就是，為了將余弦信號(hào)的幅度和初相位都放在復(fù)指數(shù)Fn中一起表示，則帶來的后果就是在數(shù)學(xué)中就出現(xiàn)了負(fù)頻率，將實(shí)際余弦信號(hào)的幅度和相位分別放在正、負(fù)頻率處。用Fn表示的頻譜如圖5和圖6所示。

圖5 指數(shù)形式的幅度譜

圖6 指數(shù)形式的相位譜

4 從余弦信號(hào)的傅立葉變換中看δ(f)函數(shù)的作用

將余弦信號(hào)寫成指數(shù)形式

信號(hào)的傅立葉變換實(shí)際上是給出了組成這個(gè)信號(hào)的所有頻率（或角頻率）的余弦信號(hào)的“三參數(shù)”的全部信息,而這些信息用傅立葉變換函數(shù)形式給出，從式（13）可以看到，式中除了含有頻率為f1的余弦信號(hào)的幅度和初相位之外，還利用δ(f-f1)和δ(f+f1)函數(shù)分別表示了正、負(fù)頻率點(diǎn)f1和-f1，相應(yīng)的表達(dá)式ejφ1δ(f-f1)就相當(dāng)于三參數(shù)：、φ1和f1。所以，δ(f)在函數(shù)中起到了自變量定位作用，用δ(f)函數(shù)的形式來表示某一個(gè)自變量點(diǎn)。同樣，狄拉克函數(shù)在時(shí)域表示信號(hào)時(shí)也是用此函數(shù)的形式表示某個(gè)時(shí)間點(diǎn)。在函數(shù)中可以將狄拉克函數(shù)稱為自變量定位函數(shù)。

從頻譜表示上看，信號(hào)傅立葉變換即式（12）和式（13）的相位譜都是如圖7所示，但是，幅度譜出現(xiàn)了偏差，這是因?yàn)楦盗⑷~變換中的幅度譜用到了δ(f)函數(shù)的原因，從（3）式中可知，用角頻率ω作自變量和用頻率f作自變量，δ(ω)和δ(f)要差系數(shù)2π；圖5中傅立葉指數(shù)形式的中沒有出現(xiàn)δ(f)函數(shù)，所以，圖5中橫坐標(biāo)用角頻率ω還是用頻率f，幅度譜圖沒有區(qū)別。傅立葉變換的幅度譜分別用圖8和圖9表示。對(duì)于余弦信號(hào)的幅度譜來說，圖3、圖5和圖9是一致的，而圖8與其它頻譜圖相差了系數(shù)2π。既然，同一個(gè)余弦信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換都是表示同一個(gè)余弦信號(hào)的“三參數(shù)”，因此，圖3、圖5、圖9和圖8的幅度譜是統(tǒng)一的，物理意義是相同的。而它們的區(qū)別在于，三角函數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)的頻譜是將原信號(hào)含有的所有頻率的余弦信號(hào)的“三參數(shù)”各自給出；指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)的頻譜是將原信號(hào)含有的所有頻率的余弦信號(hào)的“三參數(shù)”中的幅度和相位一起放在復(fù)指數(shù)Fn中一起給出，頻率點(diǎn)單獨(dú)給出；而周期信號(hào)的傅立葉變換是將原信號(hào)含有的所有頻率的余弦信號(hào)的“三參數(shù)”用這個(gè)“傅立葉變換函數(shù)”式形式一起給出的，其中頻率點(diǎn)用自變量定位函數(shù)表示。

圖7 余弦信號(hào)的相位譜

圖8 余弦信號(hào)的幅度譜

圖9 余弦信號(hào)的幅度譜

5 結(jié)論

通過對(duì)余弦信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換的分析以及余弦信號(hào)頻譜分析，不但揭示了信號(hào)頻譜的物理意義，更重要的是揭示了δ(f)函數(shù)在其它函數(shù)中的作用，即用狄拉克函數(shù)形式表示一個(gè)函數(shù)自變量的某個(gè)點(diǎn)，所以，可以將狄拉克函數(shù)稱為其它函數(shù)的“自變量定位函數(shù)”，知道δ(f)函數(shù)的意義和作用對(duì)揭示一般函數(shù)的表示具有重要意義。

[1] 李澤光. 傅立葉變換信號(hào)系統(tǒng)學(xué)意義[J]. 大連大學(xué)學(xué)報(bào), 2009(6): 60-64.

[2] 鄭君里, 應(yīng)啟珩, 楊為理. 信號(hào)與系統(tǒng)[M]. 第2版.北京: 高等教育出版社, 2000.

[3] 吳大正. 信號(hào)與線性系統(tǒng)分析[M]. 第4版. 北京: 高等教育出版社, 2005.

Function of Dirac Function δ(f)

LIZe-guang

(College of Information Engineering, Dalian University, Dalian 116622, China)

Dirac function is widely used in Fourier transform, but the function of Dirac function is more concerned with people. The physical meaning and function of Dirac function are revealed by analysis of Fourier series and Fourier transform of cosine signal. It is an independent variable locating function. Besides, the meaning and advantage of signal spectrum expressed by complex exponent function expressing are presented.

dirac functionδ(f); fourier transform; spectrum; independent variable locating function.

TN911.7

A

1008-2395(2012)03-0014-03

2011-12-23

李澤光（1963-），男，教授，研究方向：信息與信號(hào)處理。