基于WN齒輪強度的齒輪參數優化設計

穆曉凱，李玉光*，陳殿華，李成超

（大連大學 機械工程學院，遼寧 大連 116622）

基于WN齒輪強度的齒輪參數優化設計

穆曉凱，李玉光*，陳殿華，李成超

（大連大學 機械工程學院，遼寧 大連 116622）

本文結合具體的WN齒輪實例，以齒輪的強度富裕最小作為優化設計目標，建立相應的強度優化數學模型，利用MATLAB優化工具箱的序列二次規劃法（SQP）對其設計變量進行優化，進而分析該齒輪傳動參數對接觸和彎曲疲勞強度的影響。該優化方法不但實現了WN齒輪傳動的優化設計，同時使設計出的齒輪裝置具有重量輕、體積小等特點，提高了設計效率，為WN齒輪傳動的CAD設計提供了科學的理論依據。

WN齒輪；強度設計；MATLAB；優化設計

1 引言

隨著現代化機器日益向高速、重載和結構緊湊的方向發展，提高齒輪的承載能力已成為現代齒輪的研究方向之一。WN齒輪機構是承載能力較高的一種新型齒輪傳動，它具有制造工藝簡單、壽命長等優點，與漸開線齒輪系相比，齒面接觸強度和齒根彎曲強度以及耐磨性都很高，在齒輪尺寸和材料都相同的情況下，其承載能力至少為漸開線齒輪傳動的1.75～2.5倍[1]。目前已大量應用于冶金、礦山、石油、化工、煤炭、電力和建筑行業的各種機械設備上，并取得了良好的成果。

齒輪工作時，由于齒輪軸剛性不足或系統誤差的影響會產生振動和沖擊從而導致強度下降等工程問題，影響齒輪的正常工作，因此齒輪設計時主要考慮輪齒強度方面的要求。本文利用MATLAB語言中的二次規劃方法，在給定的載荷或條件下，建立相應的強度優化數學模型并求解，從而改進WN齒輪的強度設計方法。根據齒輪相關知識可知，WN齒輪機構的強度主要與其形狀參數和傳動參數有關。所以，本文從齒輪的強度出發，選取各個輪齒參數作為設計變量，采用MATLAB優化工具箱中的非線性、有約束的優化方法探討WN齒輪傳動的優化設計。

2 優化設計數學模型的建立

本研究從大負載時的強度出發，保證強度富裕最小的前提下，力求WN齒輪的質量輕、體積小為設計目標。要保證強度設計的合理性，就必須選擇合適的輪齒形狀參數及傳動參數。

WN齒輪輪齒形狀如圖1所示。輪齒的形狀參數為：齒數Z、模數M、螺旋角β和齒寬B及凸凹齒齒廓部分的圓弧半徑ρ等。工作參數有負載Fn、運轉速度v、傳動比i、壓力角αn等。

圖1 WN齒輪的齒形

2.1 目標函數的確定

根據文獻[2]的理論分析和文獻[3]研究結果可知，WN齒輪傳動的彎曲疲勞應力值和接觸應力值可由式(1)、(2)求得。

2.2 約束條件的確定

為使優化求解的參數更好地滿足工程實際的要求，擬根據WN齒輪傳動的工程要求，設定如下約束條件：

3 MATLAB優化工具箱及優化方法

傳統的優化設計方法是按照常規的設計準則、設計規范，把設計變量處理成確定型變量，建立常規的數學模型，由于此設計方法計算量大、可靠度低，很大程度上限制了結果的最優化。MATLAB優化工具箱是以數學規劃為理論基礎，以計算機為輔助工具,尋求最佳機械設計方案的現代設計方法之一。它是在給定的載荷或環境條件下對機械產品的性態、幾何尺寸關系或其他因素的限制（約束）范圍內，選取設計變量，建立目標函數并使其獲得最優值的一種新的設計方法。MATLAB語言的優化工具箱選用最佳方法求解，初始參數輸入簡單，語法符合工程設計語言要求，編程工作量小，優越性明顯[4]。MATLAB分總包和若干個工具箱，其中優化工具箱的應用包括：線性、非線性最小化，方程求解，曲線擬合，二次規劃等問題中大型課題的求解方法，為優化方法在工程中的實際應用提供了更方便、快捷的途徑。

在機械優化設計問題中，大多數屬于非線性的約束優化問題[4]，早期的方法通常是通過構造懲罰函數來將有約束的最優化問題轉化為無約束最優化問題進行求解。現在,這些方法已經被更有效的基于K-T（Kuhn–Tucker）方程解的方法所取代。MATLAB優化工具箱采用序列二次規劃法（SQP）求解約束優化問題，它是將原問題化為一系列的二次規劃子問題進行求解，通過使用BFGS法構造變尺度矩陣，以保證超線性收斂性，調用fmincon函數求解約束優化問題。

多變量約束非線性規劃問題的數學模型表示為:

利用MATLAB解決工程中的實際問題，其具體步驟如下[5]：根據實際的最優化問題，建立相應的數學模型；對建立的數學模型進行具體的分析和研究，選擇恰當求解方法；根據最優化方法的算法，選擇MATLAB優化函數然后編寫求解程序，最后利用計算機求出最優解。

4 優化設計實例計算及分析

例題：某煉油廠煙汽輪機用的高速雙圓弧齒輪箱設計計算。設計技術要求如下：轉矩T1= 7098342N·mm，電動機功率P = 9 000 kw，轉速n2= 1485 r/min，鼓風機轉速n1= 6054 r/min。采用普通優化方法得到設計參數：Z1= 26，Z2= 106，β= 30°，B =190 mm，Mn =8 mm，αn= 24°，按中心距a = 610 mm進行設計。大小齒輪材料均選用42CrMo。

4.1 建立目標函數與設計變量

WN齒輪的強度主要與齒形結構參數和工作參數相關，要保證齒輪強度富裕最小，故取本齒輪傳動的齒數Z1、模數Mn、壓力角αn、齒寬B、螺旋角β等參數為設計變量。

在實際設計時，考慮到各個目標函數的重要程度不同，所以使用加權系數構成一個綜合目標函數：F(X)=αf1(X)+γf2(X)。設計時根據設計目標的重要程度，適當選擇加權系數的大小，進而實現彎曲強度與接觸強度的多目標最優化設計。

4.2 約束條件的確定

根據WN齒輪的傳動要求及本齒輪實際的傳動特點，設定如下約束條件：

4.3 應用MATLAB優化工具箱求解

將目標函數f(x)編入目標函數M文件myfun.m，將非線性約束條件編入約束函數M文件mycon.m。在命令窗口調用優化程序：

根據參數的工程要求和國家標準系列，對計算出的優化設計變量進行圓整和修正，最終確定優化設計變量值如表1所示。

表1 優化前后計算結果對比

將優化值與原始值分別代入目標函數，即代入彎曲和接觸應力計算公式(1)和(2)，然后將他們的值進行比較，對設計例題有：

對于設計例題而言彎曲強度提高了18%，接觸強度提高了19%。通過實例的計算結果可以看到，通過MATLAB優化工具箱優化后的設計參數使齒輪的強度提高，同時使整個齒輪裝置的尺寸減小，降低了齒輪重量。

5 結論

針對WN齒輪傳動設計的特點和工程實際要求，利用MATLAB優化工具箱探討了WN齒輪傳動的優化設計。研究不但實現了WN齒輪傳動的優化設計，還揭示了該齒輪傳動的幾何與動力學參數的相互影響關系。本優化方法簡單可靠，提高了設計效率，為WN齒輪傳動的CAD設計提供了理論依據。結果表明，本優化設計不僅提高了齒輪的強度，而且使結構尺寸相對減少，節省了材料，提高了經濟效益，具有廣泛的前景及應用價值。

[1] 江婷, 陳燕青. 多級雙圓弧齒輪傳動的模糊可靠性優化設計[J]. 湖北工業大學學報, 2011, 26(3): 00-102.

[2] 陳殿華, 李玉光. 基于彈流潤滑與動力學耦合的WN齒輪傳動的強度設計[J]. 工程設計學報, 2009, 16(5): 364-368.

[3] ANDRZEIOSYCZKA. An approach to multi-criterion optimization for structural design [C]//International Symposium on Optimum Structural Design, Arizona, 1991(10): 264 -269.

[4] 劉鶴松, 姜晶. 基于MATLAB算法的機械優化設計[J]. 煤礦機械, 2004(11): 11-12.

[5] NOCEDALJ, WRIGHT S J. Numerical Optimization [M]. New York: Springer Verlag, 1999.

The Gear Parameters Optimization Design of WN Gear Strength

MU Xiao-kai, LIYu-guang*, CHEN Dian-hua, LICheng-chao

(College of Mechanical Engineering, Dalian University, Dalian 16622, China)

This paper according with the example of WN gear, with the minimum gear strength as the optimization design goal and to establish the corresponding intensity optimization mathematical model. The research is to optimize the design variables by using the method of sequence quadratic programming (SQP) in MATLAB optimization toolbox. Analyzing the influence about gear drive parameters on contact and bending fatigue strength. This Optimization method not only achieved the optimization design of WN gears drive, but also makes the WN gear device has light weight and compact size. It improved design efficiency and provided theoretical basis for CADdesign of WN gears drive.

WN gears; strength design; MATLAB; optimization design

TH132.416TP311.1

A

1008-2395(2012)03-0010-04

2012-05-06

穆曉凱（1986-），男，碩士研究生；陳殿華（1953-），男，教授，研究方向：機械設計。

李玉光（1963-），男，教授，研究方向：機械設計。