無界區域上具有記憶項的半線性耗散波動方程的整體吸引子的維數估計

韓英豪，任怡靜，梁建華

(遼寧師范大學數學學院，遼寧大連 116029)

無界區域上具有記憶項的半線性耗散波動方程的整體吸引子的維數估計

韓英豪，任怡靜，梁建華

(遼寧師范大學數學學院，遼寧大連 116029)

Hausdorff維數;分形維數;記憶項;整體吸引子

為了避免不必要的常數出現，不妨假設 k(∞)=1。利用 V.Pata在文獻［5］中采用過的方法，把過去的位移的變化量用新的變量來表示。也就是說，方程(1)通過變換

得到方程組

該方程組的初始條件為

這里 η0(x，s)=u0(x，0) －u0(x，－s)。

本文首先研究方程(2)的初值問題，為此給出所需要的各種條件，定義相空間，并給出本文中有用的幾個引理;然后集中處理方程所決定的半群的可微性;最后根據特征方程－φ(x)△u=au，x∈RN的特征值a分布的漸近估計得出Hausdorff維數和分形維數的上界。

1 準備工作

2 X0中整體吸引子的Hausdorff維數

首先證明方程組(5)所決定的半群S(t)在相空間X0上的Fréchet可微性，然后根據算子A=－φ△的特征函數的漸近分布，利用Liouville公式估計Hausdorff維數和分形維數的上界。為此，首先給出Hausdorff維數和分形維數的定義。

度量空間H的子集A?H的Hausdorff測度定義為

式中，C(A，ε)是由A的所有半徑為ri≤ε的球構成的覆蓋的集合，那么容易看出μH(A，d)關于d是不增的。因此Hausdorff維數定義為

而分形維數的定義是

下面考慮半群S(t)的可微性。在本文中字母c始終表示正常數，其值在不同的場合表示不同的值。

引理4在命題1的假設條件下，如果f還滿足(H5)，那么，對任意給定的方程(5)的解u(t)，線性化方程

［1］BRENNER P H.On space－time means and strong global solutions on nonlinear hyperbolic equations［J］.Mathematische Zeitschrift，1989，201:45 －55.

［2］FEIREISL E.Attractors for semilinear damped wave equations on［J］.Nonlinear Analysis，1994，23(2):187 －195.

［3］FEIREISL E.Asymptotic behaviour and attractors for a semilinear damped wave equation with supercritical exponent［J］.Proceedings of the Royal Society of Edinburgh，Section:A，1995，125:1051－1062.

［4］KARACHALIOS N I，STAVRAKAKIS N M.Estimates on the timension of a global attractor for a semilinear dissipative wave equation on［J］.Discrete and Continuous Dynamical Systtems，2002，8(4):939－951.

［5］PATA V.Attractors for a damped wave equation on with linear memory［J］.J.Adv.Math.Sci.Appl.，2001，11:505－529.

［6］韓英豪，石奇祥，任怡靜.無界區域上的弱耗散半線性雙曲型方程的吸引子［J］，遼寧師范大學學報，2010，33(3):288 －294.

［7］KARACHALIOS N I，STAVRAKAKIS N M.Existence of global attractor for semilinear dissipative wave equation on［J］.Diffential Equaitions，1999，157:183 －205.

［8］TEMAM R.Infinite－Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics［M］.2nd.New York:Springer－Verlag，1997.

Estimates on the Dimension of the Global Attractor for a Semilinear Dissipative Wave Equations with Linear Memory on RN

HAN Ying－hao，REN Yi－jing，LIANG Jian－hua
(School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian Liaoning 116029，China)

hausdorff dimension;fractal dimension;memory term;global attractor的狀態。當k(s)≡1時此模型為半線性波動型方程，在海洋學、聲學、地球物理學等學科中經常出現。此處φ(x)表示在一點x∈RN處的波動的速度。對有界區域的情形，此類問題已經有了很深入的研究。然而，對無界區域的情形，仍有不少問題有待解決。近幾年來有不少學者對此問題進行了研究，如Ph.Brenner在文獻［1］中得到了此類方程的整體強解的存在性，E.Feiresl在文獻［2－3］中研究了此類方程的解的漸近行為和緊吸引子的存在性，N.I.Karachalios和 N.M.Stavrakakis在文獻［4］中研究了此類方程的整體吸引子的維數估計。具有記憶項的波動方程出現在對由周圍粘彈性環境引起的具有衰減記憶的波動理論的研究中，例如具有記憶性能的電磁材料等領域的理論研究經常出現。最近有很多學者研究了具有記憶項的波動方程，如文獻［5－6］等。韓英豪等人在文獻［6］中研究了在無界區域上具有記憶項的波動方程的吸引子的存在性。本文在此基礎上研究了在無界區域上具有線性記憶項的耗散波動方程的整體吸引子的Hausdorff維數和分形維數的上有界性。

O175.29

A

1009－315X(2012)01－0037－06

2011－11－03;最后

2011－11－25

韓英豪(1963－)，男，朝鮮族，吉林延邊人，副教授，博士，主要從事無窮維動力系統研究。

(責任編輯 鄒永紅)