從光波的波動方程到薛定諤方程①

米斌周 薛永紅 劉 邁

(華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部，北京東燕郊 101601)

從光波的波動方程到薛定諤方程①

米斌周②薛永紅 劉 邁

(華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部，北京東燕郊 101601)

通過類比分析光波的波動方程建立了物質(zhì)波的波動方程，即薛定諤方程。同時引入了量子力學(xué)中的三個基本假設(shè)，給出了力學(xué)量算符的本征方程，對于能量算符，就是定態(tài)薛定諤方程。最后初步闡明了量子測量的物理含義。

光波，物質(zhì)波，薛定諤方程

0 引言

在光的波粒二象性理論中，波動性指光是電磁波，粒子性則指光的量子性，這兩種性質(zhì)通過光子的能量與動量公式聯(lián)系了起來。如何將粒子性和波動性這兩個完全不同的概念統(tǒng)一起來，物理學(xué)家們進(jìn)行了大量艱苦探索。1924年，法國的德布羅意對實物粒子和光進(jìn)行了對稱類比，向前邁出了實質(zhì)性的一步。他注意到:“確定原子中電子的穩(wěn)定運(yùn)動涉及到整數(shù)，而至今物理學(xué)中涉及整數(shù)的只是干涉現(xiàn)象和本征振動現(xiàn)象。這使我想到，不能用簡單的微粒來描述電子本身，還應(yīng)當(dāng)賦予它們以周期的概念。于是我得出了指導(dǎo)我進(jìn)行研究的全部概念:對于物質(zhì)和輻射，尤其是光，需要同時引進(jìn)微粒概念和波的概念。換句話說，在所有情況下，都必須假設(shè)微粒伴隨波而存在。”據(jù)此，他提出了物質(zhì)波假設(shè)，這一科學(xué)假設(shè)于1927年被戴維遜(Davisson)和革末(Germer)所做的電子衍射實驗所證實。1925年玻恩提出了波粒二象性的概率解釋，建立了波動性和粒子性的聯(lián)系。人們認(rèn)識到光和一切實物粒子都具有波粒二象性。

可見，在從光波到物質(zhì)波的認(rèn)識探索過程中，物理學(xué)家們運(yùn)用了類比的方法。類比是科學(xué)認(rèn)識的重要方法。因此，從光波的波動方程出發(fā)，通過類比分析去建立物質(zhì)波的波動方程是有意義的。

1 薛定諤方程的建立

聲波(機(jī)械波)由牛頓力學(xué)方程確定，光波(電磁波)是由麥克斯韋方程確定的，而實物粒子的物質(zhì)波需要由1926年奧地利物理學(xué)家薛定諤(E.Schrodinger)提出的薛定諤方程確定。描述微觀粒子運(yùn)動狀態(tài)的波函數(shù)ψ滿足薛定諤方程是量子力學(xué)的一個基本假定。薛定諤方程是基本原理，不能從更基本的原理證明或推導(dǎo)。本文將從光波的波動方程出發(fā)，通過物理類比法去建立物質(zhì)波的波動方程，目的是提供一個比較完整的量子物理圖像。這里建立薛定諤方程的過程絕不是這個方程的證明或者推導(dǎo)。

人們在認(rèn)識物質(zhì)波之前，已經(jīng)認(rèn)識了機(jī)械波和光波，機(jī)械波和光波都有各自滿足的波動方程，我們就從光波說起。眾所周知，真空中自由傳播的電磁波—光波，也就是光子，所滿足的波動方程如下:

(1)式的單色平面波特解為:

光子的概念是愛因斯坦于1905年提出來的。在沒有光子概念之前，人們對波函數(shù)和波動方程的理解是，波函數(shù)ψk描寫了單色平面波的性質(zhì)(例如振幅、頻率、波長和傳播方向等等)，波動方程(1)全面描述了光波的運(yùn)動規(guī)律。有了光子的概念后，根據(jù)愛因斯坦—德布羅意關(guān)系式:

由(2)、(3)式易見，波函數(shù)同時也描述了光子的力學(xué)性質(zhì)，即能量E和動量p。也就是說光子的這兩種性質(zhì)(波動性和粒子性)通過光子的能量與動量公式聯(lián)系了起來。光子的相對論力學(xué)方程為:

現(xiàn)在，對于波函數(shù)ψk，也就是(2)式，有以下運(yùn)算關(guān)系:

力學(xué)量用算符表示是經(jīng)典力學(xué)中所沒有的一個新概念，也是量子力學(xué)中的另一項基本假定。在上述理解的基礎(chǔ)上，如果以光子的相對論力學(xué)公式(4)作為出發(fā)點，只要將各個力學(xué)量換成(6)式中相應(yīng)的算符，并作用于波函數(shù)ψ(方程兩邊消去常數(shù)?)，就得到了光波的波動方程(1)。只是對于電磁波或光波來說，用這種辦法建立波動方程確實沒有必要，因為在發(fā)現(xiàn)光子的相對論力學(xué)關(guān)系式(4)之前，已經(jīng)有了光波的波動方程(1)。物理學(xué)中常常運(yùn)用類比分析的觀點解決一些未知的問題，例如德布羅意當(dāng)年提出物質(zhì)波的假設(shè)，就是運(yùn)用了對稱類比法，當(dāng)然他的出發(fā)點是普朗克輻射定律的推導(dǎo)以及愛因斯坦的狹義相對論。下面我們要做的事情是將這種建立波動方程的辦法由光子推廣到電子。

低速電子在保守力場中運(yùn)動時，基本的力學(xué)關(guān)系式為:將上式中各個力學(xué)量換成相應(yīng)的算符，并作用于波函數(shù)ψ:

這就是物質(zhì)波的波動方程——薛定諤方程。也就是說，從低速運(yùn)動粒子的基本力學(xué)關(guān)系(7)式出發(fā)，只要將相應(yīng)的力學(xué)量算符化，并作用于波函數(shù)ψ，就很自然地得到了薛定諤方程。

(10)式稱為含時薛定諤方程，它在量子力學(xué)中的地位相當(dāng)于經(jīng)典力學(xué)中的牛頓運(yùn)動方程。至此，運(yùn)用類比分析的方法建立了物質(zhì)波的波動方程。同時引出了量子力學(xué)中的三個基本假設(shè):

1)微觀粒子的運(yùn)動狀態(tài)可以用一個波函數(shù)ψ來完全描述;

2)描述微觀粒子運(yùn)動狀態(tài)的波函數(shù)ψ滿足薛定諤方程;

3)在理論計算中，力學(xué)量(實驗上可以觀測的量)可以用一個算符來表示。

哈密頓量算符(能量算符)的本征方程就是定態(tài)薛定諤方程:

在量子力學(xué)中，能量E的可能取值由定態(tài)薛定諤方程(11)式來決定，ψE(r)則是能量取確定值E的狀態(tài)的定態(tài)波函數(shù)。(11)式中的能量算符可以推廣到任何力學(xué)量A，由力學(xué)量算符的本征方程解出的全部本征值，就是相應(yīng)的力學(xué)量A的可能取值。如果用測量儀器測量這個力學(xué)量的取值，只能測得其本征值。量子測量會嚴(yán)重干擾被測態(tài)。每次測量并且得出結(jié)果后，被測狀態(tài)就會向本次測量所得本征值對應(yīng)的量子本征態(tài)塌縮。而每次測量后系統(tǒng)的狀態(tài)向哪個本征態(tài)塌縮，如同測量會得到哪個本征值一樣具有隨機(jī)性。只有測量后才能知道。這表明微觀體系的測量具有不確定性和統(tǒng)計規(guī)律。所以量子力學(xué)中的測量是對系統(tǒng)狀態(tài)的破壞。

2 結(jié)語

量子力學(xué)是現(xiàn)代物理科學(xué)中最重要和最成功的理論之一，但其產(chǎn)生的概念和哲學(xué)問題及其深奧，猶如一座“迷宮”。就量子理論而言，人們對物理世界仍舊知之甚少。如同愛因斯坦說過的，“量子力學(xué)令人印象非常深刻。但是內(nèi)心的聲音告訴我，它還不是真實的東西。這個理論產(chǎn)生了許多東西，但是幾乎沒有讓我們更接近上帝的秘密。無論如何，我堅信上帝不會玩骰子。”

［1］ 錢伯初.量子力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2006

［2］ 張三慧，李椿，滕小瑛，等譯.哈里德大學(xué)物理學(xué)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2009

From the light wave equation to the Schrodinger wave equation

MI Binzhou，XUE Yonghong，LIU Mai

(Department of Basic Curriculum，North China Institute of Science and Technology，Yanjiao Beijing-East101601)

Schrodinger’s Equation is established by analogy with the light wave equation，and the three basic hypotheses of quantum mechanics are spontaneously introduced.The eigenvalue equation of mechanical quantity operator is written out，with regard to the energy operator，which is the stationary state Schrodinger equation.Finally，the physical meaning of quantum measurement is initially clarified.

Light wave;Matter wave;Schrodinger’s Equation

0431.2

A

1672-7169(2012)03-0080-02

2012-04-25.基金項目:中央高校基本科研業(yè)務(wù)費資助(No.JCB1202B)

米斌周(1980-)，男，甘肅慶陽人，碩士，華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部物理教研室講師。