三維感應(yīng)測(cè)井?dāng)?shù)值計(jì)算與理論分析

張國(guó)艷，肖加奇，郝永杰

（中國(guó)石油集團(tuán)長(zhǎng)城鉆探工程有限公司，北京100176）

三維感應(yīng)測(cè)井?dāng)?shù)值計(jì)算與理論分析

張國(guó)艷，肖加奇，郝永杰

（中國(guó)石油集團(tuán)長(zhǎng)城鉆探工程有限公司，北京100176）

研究了三維感應(yīng)測(cè)井儀器在均勻、無(wú)限大、橫向各向同性（TI）導(dǎo)電地層中的響應(yīng)，分析了井眼傾角、水平電導(dǎo)率、垂直電導(dǎo)率、工作頻率等因素對(duì)接收線圈系感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的影響。趨膚效應(yīng)對(duì)XX／YY方向感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的影響比ZZ方向顯著；垂直井時(shí)，水平方向電導(dǎo)率可通過(guò)ZZ感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)求解；垂直電導(dǎo)率可通過(guò)XX／YY方向感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和求得的聯(lián)合計(jì)算求解。傾斜角可通過(guò)交叉耦合電動(dòng)勢(shì)計(jì)算。在低頻近似條件下，計(jì)算證明了可由三維感應(yīng)測(cè)井響應(yīng)提取地層各向異性電導(dǎo)率以及井眼傾角等信息，為三維感應(yīng)測(cè)井資料解釋奠定了基礎(chǔ)。

三維感應(yīng)測(cè)井；各向同性；橫向；數(shù)值計(jì)算；理論分析

0 引 言

據(jù)估計(jì)，世界上大約有30%的油氣儲(chǔ)存于砂泥巖薄交互層中［1］，現(xiàn)有的感應(yīng)測(cè)井儀器由于縱向分辨率還不夠高，往往將這種薄交互儲(chǔ)層誤認(rèn)為是高含水飽和度層而漏掉［2］。對(duì)水平井、斜井所體現(xiàn)出的宏觀各向異性地層的測(cè)量，傳統(tǒng)的感應(yīng)測(cè)井儀器不能解決。三維感應(yīng)測(cè)井儀器是由3個(gè)彼此垂直的發(fā)射線圈和與之平行的3個(gè)接收線圈組成，可以從三維角度識(shí)別地層特性，對(duì)薄儲(chǔ)層、復(fù)雜儲(chǔ)層的探測(cè)具有先天優(yōu)勢(shì)。貝克－阿特拉斯公司和殼牌公司聯(lián)合開(kāi)發(fā)的三維探測(cè)儀3DEX［3－5］以及斯倫貝謝公司開(kāi)發(fā)的三軸感應(yīng)測(cè)井儀器［6］的試驗(yàn)已顯示出三維感應(yīng)測(cè)井在探測(cè)各向異性油藏方面的應(yīng)用潛力。

數(shù)值計(jì)算和理論分析對(duì)三維感應(yīng)測(cè)井儀器的設(shè)計(jì)、響應(yīng)特征的分析和數(shù)據(jù)反演處理技術(shù)的開(kāi)發(fā)具有重要意義。目前國(guó)外已有大量文獻(xiàn)闡述了三維感應(yīng)測(cè)井的基礎(chǔ)理論及數(shù)值計(jì)算［7－11］，但是國(guó)內(nèi)詳細(xì)闡述這方面的文章卻很少。本文研究了三維感應(yīng)測(cè)井儀器在均勻、無(wú)限大、橫向各向同性（TI）導(dǎo)電地層中的響應(yīng)，分析了井眼傾角、橫向電導(dǎo)率、垂直電導(dǎo)率、趨膚效應(yīng)等因素對(duì)接收線圈系感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的影響。

1 三維感應(yīng)測(cè)井儀器基本理論

三維感應(yīng)測(cè)井儀器的線圈系結(jié)構(gòu)（見(jiàn)圖1）由3個(gè)中心共點(diǎn)的、彼此垂直的發(fā)射線圈Tx、Ty、Tz和與其平行的3個(gè)接收線圈Rx、Ry、Rz以及3個(gè)屏蔽線圈Bx、By、Bz組成。當(dāng)發(fā)射線圈系向周?chē)l(fā)射正弦交流電時(shí)，在介質(zhì)中產(chǎn)生交變電磁場(chǎng)（一次磁場(chǎng)），根據(jù)電磁感應(yīng)原理，在該磁場(chǎng)中的接收線圈和屏蔽線圈將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

為了抵消發(fā)射線圈在接收線圈中產(chǎn)生的直接耦合分量引入屏蔽線圈。所謂直接耦合是指發(fā)射信號(hào)在不經(jīng)過(guò)地層的情況下，由于磁通的閉合特性在接收線圈中直接引起的感應(yīng)信號(hào)。屏蔽線圈與接收線圈的繞線方向相反，匝數(shù)不等，在空氣中屏蔽線圈和接收線圈中產(chǎn)生的直耦電動(dòng)勢(shì)相互抵消。

當(dāng)發(fā)射線圈系向周?chē)l(fā)射正弦交流電時(shí)，可同時(shí)測(cè)量接收線圈系上磁場(chǎng)（或感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)）張量的9個(gè)分量。磁場(chǎng)強(qiáng)度張量H表示成

其中，Hyx表示由x方向發(fā)射、y方向接收產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度，其他分量定義依此類推。

圖1 線圈系結(jié)構(gòu)

計(jì)算過(guò)程中線圈等效為點(diǎn)磁偶極子，數(shù)學(xué)模型見(jiàn)圖2所示。許多地層（如砂泥巖薄交互層）表現(xiàn)為宏觀橫向各向同性（TI）地層［12］，也稱為單軸各向異性地層，其水平（橫向）電導(dǎo)率σh和垂直（縱向）電導(dǎo)率σv不相等，所以TI介質(zhì)的電導(dǎo)率在地層坐標(biāo)系中可表示為對(duì)角矩陣

圖2 數(shù)學(xué)模型

Zhdanov等［10］在Moran等［11］工作的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出三維感應(yīng)測(cè)井儀器在無(wú)限大TI介質(zhì)中響應(yīng)的解析表達(dá)式。發(fā)射線圈為單位磁矩時(shí)，地層坐標(biāo)系下的磁場(chǎng)強(qiáng)度張量為

考慮到測(cè)井儀器的傾斜，需要引入儀器坐標(biāo)系，設(shè)地層參考坐標(biāo)系為OXYZ，沿X、Y、Z方向上的電導(dǎo)率分別為σh、σh、σv，儀器坐標(biāo)系為X′Y′Z′（見(jiàn)圖3）。圖3中α為井眼傾角，定義為地層坐標(biāo)系的Z軸和儀器坐標(biāo)系Z′間夾角；β為儀器方位角，定義為儀器在XY平面的投影與X軸之間的夾角。式（3）至式（8）為基于地層坐標(biāo)系的磁場(chǎng)計(jì)算公式，通過(guò)坐標(biāo)變換矩陣R可得到儀器坐標(biāo)系下的磁場(chǎng)強(qiáng)度H′。

圖3 儀器坐標(biāo)系和地層坐標(biāo)系

坐標(biāo)變換矩陣R可表示成

設(shè)地層坐標(biāo)系下發(fā)射線圈的磁矩M＝（Mx，My，Mz）T，儀器坐標(biāo)系下發(fā)射線圈的磁矩M′＝（M′x，M′y，M′z）T。當(dāng)發(fā)射線圈為單位磁矩時(shí)，地層坐標(biāo)系下磁場(chǎng)強(qiáng)度為H，公式見(jiàn)式（3）至式（8）。當(dāng)發(fā)射線圈磁矩為M時(shí)，地層坐標(biāo)系下磁場(chǎng)強(qiáng)度為HM，此時(shí)

坐標(biāo)變換后，

把式（10）代入式（11），整理得

其中，R－1為R的逆矩陣；Re（H′）、Im（H′）分別為儀器坐標(biāo)系下磁場(chǎng)強(qiáng)度的實(shí)部和虛部。接收線圈在儀器坐標(biāo)系的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

式（13）中，S為接收線圈的面積；N為接收線圈的匝數(shù)。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的實(shí)部與儀器坐標(biāo)系下磁場(chǎng)強(qiáng)度的虛部Im（H′）成正比。考慮到接收線圈與屏蔽線圈繞線方向相反，所以接收線圈系在儀器坐標(biāo)系的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

式中，Vijr、Vijb分別為接收線圈和屏蔽線圈感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。本文只計(jì)算接收線圈系感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的實(shí)部［10］。

2 數(shù)值計(jì)算及分析

利用程序?qū)θS感應(yīng)測(cè)井儀器的響應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，并用理論公式和低頻近似公式進(jìn)行了分析。

線圈參數(shù)：發(fā)射線圈磁矩Mx＝My＝Mz＝1，發(fā)射線圈與接收線圈間距離L1＝20in＊，發(fā)射線圈與屏蔽線圈間距離L2＝15in，接收線圈X／Y／Z方向匝數(shù)Nr＝64匝，屏蔽線圈X／Y／Z方向匝數(shù)Nb＝27匝，接收線圈和屏蔽線圈X／Y／Z方向的面積均為Sr＝Sb＝0.03m2；工作頻率范圍20～220kHz。

地層參數(shù)：無(wú)限大、均勻、橫向各向同性地層，水平方向電導(dǎo)率σh和垂直方向電導(dǎo)率σv的變化范圍0.01～10S／m。

2.1 水平電導(dǎo)率和垂直電導(dǎo)率的影響

工作頻率f＝20kHz，α＝0（垂直井），β＝0，改變水平方向電導(dǎo)率σh（σv＝0.01S／m）和垂直方向電導(dǎo)率σv（σh＝10S／m）進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，結(jié)果如圖4所示。接收線圈系感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)只有3個(gè)主分量不為0，且Vxx＝Vyy，實(shí)際獨(dú)立的只有2個(gè)變量。隨著σh和σv的增加，Vxx呈增加趨勢(shì)；Vzz隨著σh的增加而增加，隨著σv的增加數(shù)值保持不變。

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)表達(dá)式［6，13］

根據(jù)式（15）至式（17）得到電動(dòng)勢(shì)3個(gè)主分量不為0，Vxx＝Vyy；Vzz只與σh有關(guān)，與σv無(wú)關(guān)；而Vxx、Vyy與σh和σv兩者都有關(guān)，數(shù)值計(jì)算結(jié)果和理論分析一致。且σh可根據(jù)式（16）計(jì)算得到，代入式（15），可求解σv。

考慮井眼一般傾斜情況（α＝60°），其他條件同上，改變?chǔ)襤和σv進(jìn)行計(jì)算，得到結(jié)果如圖5所示。3個(gè)主分量和XZ／ZX方向交叉分量不為0；Vxx≠ Vyy，Vxz＝Vzx；Vzz和Vxz數(shù)值都逐漸增加但是符號(hào)相反，Vxz數(shù)值為負(fù)說(shuō)明此時(shí)感應(yīng)磁場(chǎng)方向和發(fā)射電流方向相差180°。

2.2 井眼傾角的影響

計(jì)算時(shí)工作頻率f＝20kHz；β＝0；σh＝1；σv＝0.1。改變井眼傾角α得到接收線圈系感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)變化如圖6所示。Vxz＝Vzx，其數(shù)值先增加后降低；Vzz隨著α增加而降低；Vxx、Vyy隨著α增加而增加。當(dāng)β＝0時(shí)，低頻磁場(chǎng)近似公式［10］

根據(jù)式（21）可以得到Vxz＝Vzx，且隨著α增加數(shù)值近似正弦變化，在α＝45°時(shí)達(dá)到峰值；井眼傾角α可通過(guò)Vxz／Vzx計(jì)算得到。根據(jù)公式（20），可以看出Vzz與（1＋cosα2）成正比。

圖6 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)隨井眼傾斜角的變化

2.3 趨膚效應(yīng)的影響

研究趨膚效應(yīng)現(xiàn)象主要是計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)受電導(dǎo)率和頻率的影響。考慮電導(dǎo)率變化時(shí)電動(dòng)勢(shì)的影響見(jiàn)圖5所示。隨著σh和σv增加，Vxx、Vyy的非線性比Vzz嚴(yán)重，即趨膚效應(yīng)對(duì)XX／YY感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的影響顯著比ZZ方向強(qiáng)，趨膚效應(yīng)的影響可以從式（15）至式（16）分析，Vyy和Vxx比Vzz多了一項(xiàng)［－（k2h＋k2v）L2］eikhL，所以趨膚效應(yīng)對(duì)XX／YY感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的影響比ZZ方向顯著。

改變工作頻率計(jì)算接收線圈組感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)時(shí)，α＝60°，β＝0，σh＝1，σv＝0.1，結(jié)果見(jiàn)圖7。Vxz＝Vzx；隨著頻率增加，可以看出趨膚效應(yīng)對(duì)XX／YY感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的影響比ZZ方向顯著，趨膚效應(yīng)的影響可以通過(guò)公式（15）至式（16）分析。

圖7 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)隨頻率的變化

3 結(jié)束語(yǔ)

研究了三維感應(yīng)測(cè)井儀器在均勻、無(wú)限大、橫向各向同性（TI）導(dǎo)電地層中的響應(yīng)，分析了井眼傾角、橫向電導(dǎo)率、垂直電導(dǎo)率、趨膚效應(yīng)等因素對(duì)接收線圈系感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的影響。垂直井，水平方向電導(dǎo)率σh可通過(guò)ZZ感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)求解；垂直電導(dǎo)率σv可通過(guò)XX／YY方向感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和求得的σh聯(lián)合計(jì)算求解。傾斜角α可通過(guò)交叉耦合電動(dòng)勢(shì)Vxz／Vzx計(jì)算。趨膚效應(yīng)對(duì)XX／YY方向感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的影響比ZZ方向顯著，這在儀器設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)考慮。

［1］ 黨瑞榮，秦瑤，謝雁，等.三維感應(yīng)測(cè)井系統(tǒng)研究［J］.石油地球物理勘探，2006，41（4）：484－488.

［2］ Forgang，Stanislav，F(xiàn)anini，et a1.Method and Apparatus for Transverse Electromagnetic Induction Well Logging：United States，5781436［P］.1998.

［3］ Kriegshauser B F，F(xiàn)anini O N，Yu L，et al.Improved Shaly Sand Interpretation in Highly Deviated and Horizontal Wells Using Multi－component Induction Log Data［C］∥SPWLA 42nd Annual Logging Symposium，2001.

［4］ Rabinovich M，Tobarovsky L，Corley B，et al.Processing Multi－component Induction Data for Formation Dips and Anisotropy［J］.Petrophysics，2006，47（6）：506－526.

［5］ Rabinovich M，Gonfalini M，Rocque T，et al.Multicomponent Induction Logging：10Years After［C］∥SPWLA 48th Annual Logging Symposium，2007.

［6］ Rosthal R，Barber T，Bonner S，et al.Field Test Results of an Experimental Fully－triaxial Induction Tool［C］∥SPWLA 44th Annual Logging Symposium，2003.

［7］ Ning Yuan，Xiao Chun Nie，Richard Liu，et al.Simulation of Full Response of a Triaxial Linduction Tool in a Homogeneous Biaxial Anisotropic Formation［J］.Geophysics，2010，75（2）：101－114.

［8］ Gianzero S，Kennedy D，Gao L，et al.The Response of Triaxial Induction Sonde in a Biaxial Anisotropic Medium［J］.Petrophysics，2002，43（3）：172－184.

［9］ Hanming Wang，Tom Barber，Kouchiang Chen，et al.Triaxial Induction Logging：Theory，Modeling，Inversion，and Interpretation.［C］∥SPE103897，2006，12：5－7，Beijing，China.

［10］Michael Zhdanov，David Kennedy，Ertan Peksen.Foundations of Tensor Induction Well－Logging［J］.Petrophysics，2001，42（6）：588－610.

［11］Moran J，Gianzero S.Effects of Formation Anisotropy on Resistivity－logging Measurements［J］.Geophysics，1979，44（7）：1266－1288.

［12］Klein J D，Martin P R，Allen D F.The Petrophysics of Electrically Anisotropic Reservoirs［J］.The Log Analyst，1997，38（3）：25－36.

［13］Wang H，Barber T，Morriss C，et a1.Determining Anisotropic Formation Resistivity at Any Relative Dip U－sing a Multiarray Triaxial Induction Tool［C］∥SPE103113，2006，9：24－27.USA.

Numerical Computation and Theoretical Analysis of Three－dimensional Induction Logging Tool

ZHANG Guoyan，XIAO Jiaqi，HAO Yongjie
（CNPC Greatwall Drilling Company，Beijing 100176，China）

In this paper examined are the responses of a three－dimensional（3D）induction well logging tool in an unbounded，homogeneous，transversely isotropic conductive medium，and analyzed is the dependence of the induced potential of the receiver array with respect to the relative dip angle，the horizontal conductivity，the vertical conductivity and the frequency respectively.The results show that the induced potential in the XX／YYdirection exhibits much stronger skin effect than the induced potential in the ZZdirection.Under the low frequency approximation，we found that the horizontal conductivity，the vertical conductivity and the relative dip angle can be resolved from the three－dimensional induction instrument response in a deviated borehole as well as in a vertical borehole.This provides the basis for the data interpretation of a three－dimensional induction well logging tool.

three dimension induction logging，isotropy，transverse，numerical computation，theoretical analysis

P631.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

2011－06－01 本文編輯 李總南）

王忠義，男，1959年生，碩士，高級(jí)工程師，從事測(cè)井方法與儀器研究工作。