基于并聯機構的六維加速度傳感器的方案設計及建模研究?

尤晶晶,李成剛,吳洪濤

(1.南京航空航天大學機電學院,江蘇南京 210016;2.江蘇省精密與微細制造技術重點實驗室,江蘇南京 210016)

引 言

慣性導航系統是一種不依賴于外部信息、也不向外部輻射能量的自主式導航系統,通過測量運載體在慣性參考系中的加速度,再經過積分可以解算出載體的速度、偏航角、位置等導航參數。目前,慣性導航系統中慣性測量裝置一般包括 3個單軸加速度計和3個陀螺儀,分別測量運載器在三維空間內3個線加速度以及 3個角速率。加速度計與陀螺儀是分離的元件,不但體積大、成本高、缺乏角加速度信息,而且對于控制大姿態角、大機動狀態的運動都很困難[1,2]。應用一體化的六維加速度傳感器直接獲取上述信息,不但可提高精度和帶寬,而且可節省空間和成本,對提升導航系統的控制性能,尤其是高機動導彈、無人機等新型飛行器具有重要意義[3,4]。另外,六維加速度傳感器在機器人、車輛、生物醫療等領域的振動測量方面都有著非常廣泛的應用前景[5～7]。

目前,單軸加速度傳感器的技術比較成熟,基于壓電、壓阻、光纖等檢測機理的各種傳感器,市場上都有相應的產品[8]。多維加速度傳感器在市場上并不多見,國內外科學家對其研究也主要集中在三維領域[9]。至于可以同時測量載體加速度6個分量的傳感器還未進入市場,國內外的研究都不多,尚處于探索階段。 FENG J采用靜電懸浮原理設計了六維加速度傳感器[10],通過測量電容的變化來計算加速度,具有測量精度高的優點,適合于測量微重力或低溫環境下量程較小的加速度。重慶大學設計的一種組合式六維加速度傳感器是將六只單軸壓電加速度計首尾相連[11],以垂直正交的立方體布局結構固定在各安裝平面上,利用該結構可以實現運動載體六維加速度的傳感,并具有結構緊湊的優點。從檢索到的文獻來看,六維加速度傳感器普遍存在完全解耦困難、結構復雜、加工及安裝要求高等缺陷。進行六維加速度傳感器的設計已經成為傳感器研究領域的一項重要課題,有著巨大的理論意義和實際價值[12]。

本文提出一種新的基于并聯機構的壓電式六維加速度傳感器的設計方案,在闡明工作原理的基礎上,詳細推導了待測六維加速度的解耦過程。最后,通過將由數學模型計算的結果與ADAMS仿真結果進行對比以及將實物樣機的試驗結果與激振器的標準輸出值進行對比,有效驗證了設計方案的合理性和可行性。鑒于六維加速度傳感器的靈敏度等性能目前還沒有統一、規范的定義,且缺乏綜合性能評價指標,本文不在性能方面與其他方案進行對比。

1 工作原理

考慮到并聯機構具有剛度大、精度高、承載能力強、動力學性能好、結構緊湊且穩定等優點[13],對其進行理論和應用方面的研究已逐漸成為學術界的熱點,另外,壓電陶瓷具有重量輕、靈敏度高、壓電系數大、信噪比大、頻響特性好、性能穩定可靠等優點[14],且特別適合于加速度的測量[15],本文提出一種將并聯機構作為六維加速度傳感器的彈性體結構,并用壓電陶瓷充當傳感器敏感元件的設計方案,其三維模型如圖1所示。涉及到的并聯機構具有9條相同的 SPS支鏈,其中,S代表球面副,這里設計成彈性球鉸鏈,具有體積小、無間隙、無摩擦等優點;P代表移動副,圓柱狀壓電陶瓷在軸向力作用下沿其極化方向會產生一定量的彈性變形,故可視為移動副。每3條SPS支鏈為一組,它們一端的彈性球鉸鏈固結在一起,組合成復合彈性球鉸鏈并固結于立方體質量塊一面的幾何中心;另一端的彈性球鉸鏈分別固結于外殼上相鄰的相互垂直的3個面。

圖1 六維加速度傳感器三維模型Fig.1 Three-dimensional model of six-axis accelerometer

傳感器的加工及裝配容許存在一定的誤差,除了定位螺母可對各支鏈進行調節外,還可通過建立誤差模型和進行標定試驗進一步補償。鑒于與復合彈性球鉸鏈相聯結的3條支鏈轉動中心保持重合會給加工帶來極大困難,將轉動中心設計成沿各軸線方向延長線重合可以大大降低加工難度,實際計算時只需將支鏈長度進行相應修改即可。

傳感器工作時,其外殼底板剛性固定在待測體上,保證傳感器外殼運動的加速度即為待測的六維加速度。在慣性力和慣性力矩作用下,質量塊壓縮或拉伸9組壓電陶瓷。壓電陶瓷重量輕,且兩端連接球面副,故每條SPS支鏈可視為二力桿。由于正壓電效應,壓電陶瓷在沿極化方向作用力下其極化面上會產生電荷。9組壓電陶瓷兩極通過單面導電膜以及環氧樹脂膠與鉸鏈固結,并從鉸鏈的凹槽引出導線,導線分別連接電荷放大器 9個通道的輸入端,放大器輸出端輸出經過信號放大和阻抗變換處理之后的電壓模擬量,再通過數據采集卡將其轉換成數字量供計算機分析處理。

2 數學模型

2.1 運動學模型

為便于建立系統的運動學、動力學模型,將圖 1的三維模型進行簡化。用直線表示壓電陶瓷,空心圓圈表示彈性球鉸鏈,實心圓圈表示復合彈性球鉸鏈,簡化后的模型如圖 2所示。

圖2 六維加速度傳感器簡化模型Fig.2 Simplified model of six-axis accelerometer

在質量塊上固結坐標系{M},其坐標原點選為質量塊的質心,3條坐標軸分別平行于質量塊的3條棱邊。在外殼上固結坐標系{W},與初始狀態時的{M}重合,并將其坐標原點記為OW。圖 2中b1,b2,b3分別表示固結在質量塊前表面、右表面和上表面幾何中心處的復合彈性球鉸鏈;B11～B33表示固結在外殼上的彈性球鉸鏈。各條 SPS支鏈的初始長度設為L,質量塊的邊長設為 2n,則坐標系{W}原點與固結在外殼上各彈性球鉸鏈的中心連線的矢量可以分別表示為

式中 上標“W”表示矢量投影在坐標系{W}中,下標括號中的第1個點為矢量起點,第2個點為矢量終點。

為便于建模,將坐標系{W}原點與 3個復合彈性球鉸鏈的中心連線的矢量分別表示為

圓柱狀壓電陶瓷剛度K的計算表達式

式中L0,D,S33分別表示壓電陶瓷的原長、底面圓直徑和彈性柔順系數。

根據數據采集卡第i通道輸出的電壓值Ui,計算第i個壓電陶瓷上受到的軸向力大小

式中Sq,Su分別為在電荷放大器控制面板上設置的輸入電荷靈敏度和輸出電壓靈敏度;d33為壓電陶瓷的壓電系數。

傳感器工作過程中,第i條 SPS支鏈的長度為

另外,每條 SPS支鏈的長度還可以通過兩端彈性球鉸鏈的幾何坐標來計算,以第一組 SPS支鏈為例列寫計算表達式

將式(1)代入(5)求解方程組,計算得到兩組解。考慮到傳感器實際工作時,復合彈性球鉸鏈b1不會運動至圖 2所示的平面B11B12B13的另一側,故僅有一組解滿足傳感器的結構要求,即

其中,S1=L12L32+L22L32,S12=L12+L22+L32,S13= 4L4+

同理,可以列出其他兩個復合彈性球鉸鏈幾何坐標的解析表達式。

如圖 3所示,將{M}的坐標原點記為O′;b1,b2,b3組成邊長為的正三角形。將O′在面b1b2b3上的投影記為O″,過O″分別作直線O″p1,O″p2平行于b1b3和b2b3,p1和p2為交點。

圖3 質量塊位姿計算模型Fig.3 Calculation model of position and pose of the mass-block

運用立體幾何知識,連接坐標系{W}和{M}的坐標原點所形成的矢量可以表示為

其中,|b3p1|=|b3p2|=r(b3b2)= (b2x-b3x,b2y-b3y,b2z-b3z)T;r(b3b1)= (b1xb3x,b1y-b3y,b1z-b3z)T。

另外,{M}相對于{W}的旋轉矩陣在 {W}中投影為

式(7),(8)即為該并聯機構的位置正解,顯然,等號右邊各項可以用關于系統結構參數和支鏈實時長度的解析式來表示。

將 3個復合彈性球鉸鏈的速度矢量分別記為:

式(6)對時間求一階導數,得到b1速度矢量中各分量的解析表達式

同理,可列出其他 2個復合彈性球鉸鏈速度的表達式。將{M}的坐標原點在{W}中運動的線速度矢量以及{M}相對于{W}轉動的角速度矢量分別記為和kW,它們與復合彈性球鉸鏈的速度矢量之間滿足關系:

由式(10),(11),易得到kW關于復合彈性球鉸鏈坐標以及速度的解析表達式,再將其代入式(12)即得到的解析表達式,限于篇幅這里不具體列出。

將 3個復合彈性球鉸鏈的加速度矢量分別記

式(9)對時間求一階導數,得到b1加速度分量的表達式

同理,可以列出其他 2個復合彈性球鉸鏈加速度的解析表達式。點O′在{W}中運動的線加速度矢量以及{M}相對于{W}轉動的角加速度矢量分別記為和XW,它們與復合彈性球鉸鏈的速度、加速度之間滿足關系:

由式(14),(15),易得到XW關于復合彈性球鉸鏈坐標、速度以及加速度的解析表達式,再將其代入式(16)即得到 AO′W的表達式。

在地面上固結慣性坐標系{O}并使其與初始狀態時的{M}重合。將{W}相對于{O}轉動的角速度矢量記作kO,上標“O”表示該矢量是在{O}中投影的。根據角速度加法公式,計算{M}相對于{O}轉動的角速度矢量,也即質量塊的絕對角速度

式(17)對時間求一階導數,并運用變矢量的絕對導數與相對導數定理[16],得到質量塊的絕對角加速度

將連接{O}與{W}坐標原點的矢量記為rO(OOW),則{M}的坐標原點在{O}中運動的線速度,也即質量塊質心的絕對線速度可以表示為

式(19)對時間求一階導數,得到質量塊質心絕對線加速度的表達式

2.2 動力學模型

作用在質量塊上的外力包括沿 9條 SPS支鏈軸線方向的壓縮(拉伸)力以及質量塊自身的重力,其合力以及對質心的合力矩分別為:

式中 RO為{W}相對于{O}的旋轉矩陣;M為質量塊的質量;g為重力加速度;

根據牛頓-歐拉法,建立傳感器系統的動力學方程,也即系統的振動微分方程組:

式中 IW表示在坐標系{W}中描述的質量塊的慣性張量,且滿足關系IW=RWdiag(2Mn2/3,2Mn2/3,2Mn2/3)(RW)T。

綜合式(17),(18),(22),(24),并將所有的矢量投影在坐標系{O}中,得到如下形式的高度耦合的微分方程

引入輔助角速度k*,使其滿足下面關系式

式(26)等號兩邊對時間求一階導數

將式(26),(27)代入 (25),并考慮到 RO為正交矩陣,化簡整理后得到不含RO的微分方程

假設傳感器外殼由靜止開始運動,可以通過求解式(29)所示的一階常微分方程組的初值問題來計算k*。

式中 Y=k*;G(t,Y)=U-Tk*。

易證明函數G(t,Y)關于Y滿足 Lipschitz條件,運用改進的歐拉算法求解方程組(29),其遞推公式為

式中h為計算步長;下標N,p,c分別表示第N步數值、預測值和校正值。

坐標系旋轉矩陣的描述方法通常有方向余弦、歐拉角等,為便于實現六維加速度的實時解耦,使用四元數來描述正交矩陣RO,即

其中,

λ1,λ2,λ3,λ0為單位四元數Λ的各分量 ,且滿足:Λ=(λ1,λ2,λ3,λ0)T。

另外,剛體的角速度矢量也可以用描述旋轉矩陣的四元數及其對時間的一階導數來表示

綜合式(26),(31),(32),化簡后得到關于四元數Λ的微分方程組

顯然,傳感器外殼處于初始位姿時,其旋轉矩陣為單位陣,即

同樣運用改進的歐拉算法求解式(33),(34)組成的一階常微分方程組的初值問題。

需要指出的是,單位四元數的各分量之間還必須滿足約束方程(35),由于計算過程中存在截斷誤差和舍入誤差,四元數不再滿足該約束方程,也即存在違約問題。

將通過微分方程組數值計算得到的四元數、四元數的理論值以及計算誤差分別記為λ~i,λi和Δλi。

綜合式(35),(36),并運用泰勒公式在數值計算值處展開,忽略二階以上無窮小量,得到

由式(37)并根據矩陣廣義逆理論,計算姿態四元數在每一個節點處的修正值

式中Pinv(· )表示矩陣的廣義逆。

將經過違約修正之后的單位四元數Λ代入式(31),(26),(27),分別計算RO,kO和d kO/dt;再結合式 (20),(21),(23),計算 d2r(OOW)O/dt2。 其中,d2r(OOW)O/dt2和d kO/dt分別表示傳感器外殼運動的線加速度矢量和角加速度矢量,也即待測的六維加速度。

3 算例驗證

3.1 仿真驗證

ADAMS是目前國際上應用最為廣泛的虛擬樣機分析軟件,具有強大的運動學、動力學分析功能和先進的求解算法。為驗證數學模型的可靠性,在ADAMS/View模塊中建立六維加速度傳感器的虛擬樣機,如圖 4所示。

圖4 六維加速度傳感器虛擬樣機Fig.4 Virtual prototype of six-axis accelerometer

在傳感器外殼上同時施加直線驅動和旋轉驅動,其方向矢量分別為(5,-6,7)和(17,12,-20),線位移函數和角位移函數分別為:Γ=19.859×cos(10π×t)- 19.859(mm)和 Θ= 0.524×cos(10π×t)-0.524(rad)。設定仿真步長為0.002 s,仿真時間為2 s,對虛擬樣機進行動力學仿真。測量9條支鏈的伸長量,在 Post-Processor模塊中將其數據導出并導入根據數學模型編寫的 M ATLAB程序中,數據輸入、計算、顯示和保存的時間之和僅為1.64 s。將解算得到的六維加速度與在 ADAMS中仿真時外殼運動的六維加速度進行數據對比,結果如圖 5(a)～ (f)所示,顯示兩者吻合得很好。 誤差主要來源于數值微分和微分方程數值求解過程中的截斷誤差和舍入誤差,以及 ADAMS軟件中測量數據初始點的攝動和中間點的擾動。由式(20)可知,待測線加速度的計算誤差中除了包含角加速度的計算誤差外,還包含了角速度的計算誤差以及并聯機構運動學的計算誤差,這與圖 5反映出的線加速度和角加速度的誤差大小關系是完全吻合的。

圖5 理論計算與 ADAMS仿真對比Fig.5 Comparison between theoretical calculation and simulation with ADAMS

3.2 試驗驗證

為進一步驗證本文設計方案的可行性,加工制作了六維加速度傳感器的實物樣機,并將其安裝在激振器上進行了振動測試實驗,如圖6所示。利用第2節中建立的數學模型及其算法對9組壓電陶瓷輸出的經過剔除、濾波、放大等調理后的電壓信號進行數據處理,其中在求解微分-代數方程組(33)和(35)時分別運用傳統增廣法和違約修正法進行處理。將解算到的兩組六維加速度與激振器輸出的標準加速度進行對比,一方面顯示了試驗結果與標準輸出值吻合得較好;另一方面顯示了 2.2節中違約修正算法的有效性,限于篇幅,這里僅給出X方向線加速度的對比曲線,如圖 7所示。其中,違約修正法的誤差主要來源于傳感器的加工、安裝誤差以及壓電陶瓷電壓信號的輸出誤差和調理誤差,可通過進一步的標定研究來提高六維加速度傳感器的測量精度。

圖6 六維加速度傳感器實物樣機及試驗平臺Fig.6 Physical prototypes and experimental platform of six-axis accelerometer

圖7 實物樣機試驗驗證Fig.7 Experimental verification of physical prototypes

4 結 論

(1)提出了一種基于并聯機構的壓電式六維加速度傳感器的設計方案。用一種特殊構型的具有 9條 SPS支鏈的并聯機構充當傳感器的彈性體結構,壓電陶瓷同時充當傳感器的敏感元件和并聯機構的移動副,用彈性球鉸鏈代替傳統的球面副。充分集成了并聯機構、壓電陶瓷和彈性鉸鏈的優點,為多維加速度傳感器的結構設計提供了一種新的思路。

(2)通過將固結在動平臺(質量塊)上的 3個復合彈性球鉸鏈的運動參量作為中間變量,能夠推導出并聯機構正向運動學(包括位置正解、速度正解和加速度正解)的封閉解,為傳感器的實時測量提供了有力保證,同時也為其他并聯機構運動學、動力學的分析提供了一種有效的解決途徑。

(3)通過測量 9組壓電陶瓷的輸出電壓并運用機械多體系統動力學理論可以建立六維加速度的解耦模型。通過引入輔助角速度以及四元數,可以從系統動力學方程中分離出旋轉矩陣,進而實現六維加速度的完全解耦。針對四元數的違約問題,運用矩陣廣義逆理論提出了一種有效的修正算法,該算法還可以移植到速度修正、加速度修正中去,且可以重復運行,直到滿足精度要求為止。

(4)通過算例,將根據數學模型計算的結果與ADAMS仿真的結果進行了對比,將六維加速度傳感器實物樣機的試驗結果與激振器的標準輸出值進行了對比,結果表明:提出的新型六維加速度傳感器可以實現運動載體加速度 6個分量的實時、精確測量,有效驗證了設計方案的合理性以及數學模型的可靠性。

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