基于信息技術測量籃球的空氣阻力系數＊

李武鋼 張彬玲

（廣西師范學院物理與電子工程學院，廣西 南寧 530023）

基于信息技術測量籃球的空氣阻力系數＊

李武鋼 張彬玲

（廣西師范學院物理與電子工程學院，廣西 南寧 530023）

為了測出籃球在一般投籃過程的空氣阻力系數，使用攝像機拍攝籃球豎直下落的全過程，并用軟件將視頻分解為幀圖像，得到籃球下落的坐標和時間實驗數據.用Matlab比較理論圖線和實驗所得的圖，最終確定空氣阻力系數近似值k＝0.5±0.03.

籃球；落體；空氣阻力系數；Matlab

1 引言

研究籃球在投籃過程的實際運動通常要引入空氣阻力系數，例如文獻［1，2］，但文獻空氣阻力系數來源和依據不清楚.理論上對球類的空氣阻力有一些研究，如文獻［3，4，5］，其中依據流體雷諾數進行計算，但所得結論沒有引入實驗數據支持.雷諾數涉及到的因素是多方面的，而且雷諾數隨球體運動的速度變化也不是常量，因此，理論研究只能得出大概的數值范圍.通過實驗方法可以在一定速度范圍內得到更接近真實的籃球空氣阻力系數值.這里要明確的是，無論用什么實驗方法都不可能在一段速度范圍內得到一個統一的精確值，只能是一個近似值，原因是空氣阻力大小與速度相關.不同的實驗方法得到的結果接近真實程度不同.相對利用落體實驗方法取籃球末端速度間接測得籃球的空氣阻力系數來說，利用信息技術獲取籃球下落過程的信息并加以處理得到的結果更為準確.

利用信息技術求得籃球的空氣阻力系數基本方法是，用數碼攝像機拍攝籃球下落的視頻并用計算機軟件將視頻轉化為幀后獲取籃球下落的y—t數據，形成 Matlab的y—t線，并與理論的y—t線比較，最后確定籃球的空氣阻力系數k.由于籃球在下落過程中速率較小，可認為籃球受到的空氣阻力f大小與速率v的一次方成正比，即f＝kv.

2 用攝像技術采集籃球下落不同時間所在位置的數據

一般的投籃過程，籃球的速度在2m/s～8m/s，平均為5m/s，因此在籃球下落的實驗中，選擇從5m的高度開始靜止釋放籃球.為了測出籃球下落過程在不同的等間隔時間所在的位置，在籃球下落路線的一旁放置一把長標尺（用工程卷尺），在距籃球下落路線垂直距離為28m處用一部數碼攝像機對球的下落情況進行攝像.實驗場地四面有圍墻，能較好地避免空氣大的流動.環境溫度為29～31℃，氣壓為1個標準大氣壓.所選的籃球為國標新球，質量是0.600kg.

攝像機攝錄畫面圖像速度為每幀相隔0.04s，在計算機上把拍攝到的籃球下落的視頻用軟件分解為一幀一幀的畫面.從籃球下落的瞬間起計時，每張畫面的時間是知道的，并且每個畫面經適當放大后能夠看清籃球所對應標尺的位置.實際取值時是以每隔0.08s取一次值.y坐標以地面為原點，籃球下落起點坐標y＝5.0m.記錄了通過攝像技術所得到的籃球下落過程每隔0.08s后所對應的坐標值y.表1為多次實驗測量結果的平均值.

表1 實驗測量籃球下落時間值和對應的坐標值

3 利用Matlab對實驗和理論圖線擬合確定k值

3.1 實驗圖線

根據表1，利用Matlab可以描出相應的實驗所得時間和坐標的y—t線.由于實驗數據確定，曲線不變.

3.2 理論圖線

籃球在空氣中下落，設y坐標軸方向向上，在速度不大的情況下所滿足的運動方程［6］是

式中，m為籃球質量；k為空氣阻力系數；Fb為空氣浮力，因為空氣質量密度是1.29g/cm3，籃球體積為7749.6cm3，籃球質量 m＝0.600kg，所以Fb/m＝0.17N/kg.

為了便于理論計算，令k＝mb，式（1）解得

式中，y是以地面為坐標原點的坐標；y0是籃球靜止下落起始坐標；g是重力加速度；t是時間（初始時間為t＝0）.根據式（2）利用 Matlab［7］編寫程序，并根據時間t和下落的坐標y可描出一條曲線，這是一條理論y—t線.為了對理論y—t線與實驗y—t線比較，由Matlab將兩者同時描繪在同一個y—t圖上.通過調節b的數值，y—t線會變化.

3.3 圖線擬合和k值的確定

用理論上的y—t圖線與實驗所得的y—t線進行比較，不斷從理論上調整籃球的空氣阻力系數b值，每次的步進為0.01，使理論圖線逼近實驗圖線，在判斷兩者擬合程度達到最佳時，得到的b就十分接近實際數值（可手動改變也可利用某個程序來改變）.見圖1，當b＝0.88時，兩圖線擬合程度最好，但是不可能做到完全擬合.當b的值偏離0.05時，兩圖線顯出明顯的偏差，因此得到的結果表示為b＝0.88±0.05.由此得籃球的空氣阻力系數k＝mb＝0.600×（0.88±0.05）＝0.53±0.3（kg/s）.

圖1 理論y—t圖線與實驗y—t線

4 關于實驗圖線與理論圖線偏差的討論

值得注意的是，無論如何擬合，由理論公式計算得到的理論圖線總是不能與實驗圖線重合，沒有出現實驗點在理論圖線兩側隨機分布的情況.雖然由于實驗條件限制和主觀判斷不夠準確使得實驗不可避免存在一定的測量誤差，但實驗結果的平均值形成的實驗圖線相當光滑，因此可以確定實驗圖線十分接近真實的籃球下落的y—t關系.這說明，兩圖線的偏差不是由于實驗測量誤差造成的，并且在這個實驗中，實驗測量誤差相比兩圖線的偏差完全可忽略不計.

造成這種圖線偏差的原因是因為傳統的受空氣阻力影響的物體運動理論存在問題.但理論關系式中的式（2）是由式（1）嚴格推出的，而式（1）是牛頓第二定律的具體運用，僅從力學關系看不存在問題.傳統理論認為，空氣阻力系數是一個常量，當物體運動速度較低時，空氣阻力與速度的一次方成正比；當物體運動速度較高時，與速度的二次方成正比.但實際上不可能存在于兩種情況之間的一個速度臨界值，因此嚴格意義的空氣阻力與速度的一次方或二次方成正比是沒有的，這是造成理論圖線與實驗圖線無法完全重合的原因.

特別要說明的是，除了兩圖線要求盡可能重合外，圖線的相似度（即斜率和斜率變化的近似程度）具有重要意義.無論是理論上還是實驗上，直接影響籃球下落的行為有三個因素：初速度、重力大小和空氣阻力大小，其中初速度可通過之前籃球下落了一定距離獲得.重力大小在籃球整個下落過程是不變的，考慮截取實驗圖線和理論圖線相互對應的一個線段，當各自線段的起始處有相同的斜率時，說明起始處的初速度理論值和實驗值相同，后面的斜率變化如果有偏移則一定是由空氣阻力差異造成的，如果沒有偏移那一定是空氣阻力的理論值等于實驗測量值.在圖1中，兩圖線各自中間處附近線段相似度很高，說明在兩對應線段內由理論圖線定取的空氣阻力系數k＝mb＝0.600×（0.88±0.05）＝0.53±0.3（kg/s）反映了實驗的真實值.

5 結語

盡管實驗圖線和理想圖線不可能做到完全重合，但在給出的偏差范圍值內已足夠反映籃球在一定速度范圍內的空氣阻力系數真實值.這一結果接近周雨青等人通過理論計算得出圓球類在速度為0～30m/s內空氣阻力系數值是在0.5～0.06（kg/s）的范圍內［4］.

［1］ 閻守勝.趣談球類運動的物理［J］.物理學與體育專題，2008

［2］ 鞠衍清.垂直下落球體運動的數值分析［J］.大學物理，2008，27（11）：11～13，17

［3］ http：//baike.baidu.com/view/95279.htm？fr＝ala0＿1＿1

［4］ 周雨青，葉兆寧，吳宗漢.球類運動中空氣阻力的計算和分析［J］.物理與工程，2001，21（1）：55～59

［5］ 梁兵，甘皓元.在實驗室中利用自由落體測定空氣阻力系數［J］.白色學院報，2009，22（6）：58～60

［6］ 周衍柏.理論理論力學教程（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，1986

［7］ 馬格雷伯.MATLAB原理與工程應用（第二版）［M］.高會生譯.北京：電子工業出版社，2006

MEASURING AIR RESISTANCE COEFFICIENT OF BASKETBALL BASED ON INFORMATION TECHNOLOGY

Li Wugang Zhang Binling
（College of Physics and Electronics Engineering，Guangxi Teachers Education University，Nanning，Guangxi 530023）

In order to measure the air resistance coefficient of basketball，the video camera is used to shoot the whole process of falling vertically of a basketball.Some software is used to divide video into frames of picture，which help us to get the experimental data of a basketball falling with the time and the coordinates.By comparing the theory chart with the experiment chart with Matlab，approximation of the air resistance coefficient is determined to be k＝0.5±0.03.

basketball；falling body；air resistance coefficient；Matlab

2011－04－26）

廣西教育廳自然科學研究項目（基于MATLAB的籃球最佳投擲角度的研究）.項目號：201106LX303.

李武鋼（1958年出生），男，廣西藤縣人，廣西師范學院副教授，主要從事物理教學和計算物理研究.