位移法在結構力學中的應用

內蒙古交通職業技術學院 蘇勒德

位移法是解決超靜定結構最基本的計算方法，計算時與結構超靜定次數關系不大，相較于力法及力矩分配法，其計算過程更加簡單，計算結果更加精確，應用的范圍也更加廣泛，可以應用于有側移剛架結構的計算。此外，對于結構較為特殊的體系，應用位移法可以很方便地得出彎矩圖的形狀，位移法不僅適用于超靜定結構內力計算，也適用于靜定結構內力計算，所以學習和掌握位移法是非常有必要的。

一、位移法的基本思路

位移法的基本未知量便是結點位移，以單跨桿件單元集合體為例，其結構如圖1所示。

圖1 單跨桿件單元集合體結構

通過力法可以建立等截面直桿的剛度方程，分析不同桿件單元的桿端力和桿端結點位移以及荷載之間的聯系，而通過位移法，則無需再列出如力法那樣繁瑣的公式，可以直接應用其計算結果。位移法將結構的內力計算的問題進行了轉換，將其變為在基本結構的荷載共同作用下求解基本未知量的內力計算問題，通過力系的平衡條件及疊加法建立相應方程，實現對結點的位移和結構內力的求解。

二、確定基本未知量與基本結構

位移法是以不考慮軸向變形為基礎的，其基本未知量不包含鉸結點轉角位移、支座結點位移，只是獨立的結點位移，這是位移法和矩陣位移法最大不同。位移法基本未知量的選取盡量要求數目最少，根據荷載及結構的變形的條件，通常各個剛結點都存在相應的轉角位移，然而當結點連接的桿件具有一定的抗彎剛度時，則該結點不存在轉角位移，進而不能取其作為基本未知量；對線位移進行判定時，一般采用鉸接體系法以及附加連桿法進行判斷。在所有的位移約束后形成了位移法的基本結構，其中線位移用鏈桿進行約束，角位移則用剛度無限大的剛臂進行約束，在基本結構中剛臂數量對應著轉角位移的數量，同理，鏈桿支座的數量對應著線位移的數量。水平桿以及豎直桿，結點沿線方向的線位移通常是相同的，但是若桿件的軸向變形不能忽略時，則結點的線位移不同。以圖2所示的甲乙兩結構為例，甲轉角位移數為5 個，線位移數目為3 個，但是結構乙轉角位移數為4 個，線位移數也是4 個，這是因為中間鏈桿存在軸向變形，所以其兩端結點的豎向位移不同。

圖2 示例結構

三、典型方程的建立

對位移法的基本未知量進行求解需要建立相應的典型方程，在建立典型方程時，通常采用基本體系法以及直接剛度方程法兩種方法。基于位移法的基本結構，施加原結構中的荷載與位移，形成基本體系進行計算。基本體系法是依托基本結構與基本體系進行方程求解的，該方法概念清晰，且與力法求解步驟類似，相對比較容易學習掌握；直接剛度法大大簡化了位移法的計算的復雜性，然而其各個桿端力的計算都是基于基本結構中的桿件單元所進行的。需要注意的是，其基本結構不是顯式的。

基本體系法與直接剛度方程法的實質是相同的，其差異性也只是典型方程的表面含義的不同，基本體系法對基本體系和原結構的不同進行了消除，通過在原結構中添加原本不存在的附加約束反力為零的條件，實現了典型方程的右端恒為零的形式。直接剛度方程法的實質是基于等截面直桿剛度方程對各個不同的基本結構單元在各種外力作用下的桿端內力進行了羅列。另外對于基本體系法，計算其各系數時也同樣需要選取隔離體及相應的平衡條件。兩種方法所列出的典型方程是相通的，都是以力的平衡為基礎進行處理的。

四、位移基本結構的簡化

對于某些超靜定結構，根據體系的特點可以對基本結構進行簡化處理。如當結構為對稱結構時則可取半邊結構，在有些情況下，由于可以直接判斷結構部分桿件的內力，其結點轉角和相應的結點線位移在位移法計算時可以忽略，進而簡化了計算過程。以圖3所示的鋼架為例。

圖3 鋼架結構

由于存在半剛結點B 和全剛結點D，故存在2 個角位移；改鉸處理后其自由度是2，如圖2（乙）所示；通過添加水平鏈桿與豎直鏈桿將體系轉換為幾何不變體系，如圖2（丙）所示；所以結構的線位移數為2，加上2 個角位移，結構有4 個未知量。然而對于懸臂梁半剛結點B，通過靜力平衡法即可求出其截面彎矩，所以不必將B 點轉角與位移量作為基本未知量，故結構存在2 個未知量，其基本結構如圖2（丁）所示。

五、結論

位移法的各種求解方法存在內在統一性，在邏輯上是互相聯系的，都是基于相同的基本假定，判斷結構體系的自由度，進而進行求解。位移法是以計算機為基礎的矩陣位移法的理論依據，是計算超靜定結構的重要方法，需要工作人員熟練掌握。