考慮剛性彈彈頭形狀的混凝土（巖石）靶體侵徹深度半理論分析＊

吳 昊，方 秦，龔自明

（1.中國工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽621900；2.解放軍理工大學國防工程學院，江蘇 南京210007）

動能彈對混凝土和巖石靶體的沖擊破壞效應是防護工程和武器研發領域的研究重點之一。表征靶體破壞效應的最主要參數就是彈體的侵徹深度（彈體侵入靶體的垂直距離）。對于中低速沖擊而言（小于900m／s），侵徹深度研究一般基于兩點假設：（1）彈體視為剛體，不考慮彈體的變形和質量侵蝕；（2）將彈體對靶體的沖擊侵徹過程視為靶體的局部響應，不考慮彈體沖擊作用下靶體的整體運動。

預測彈體侵徹深度的計算公式，主要分經驗公式和半經驗半理論公式兩類。經驗公式基于對野外原型或縮比模型彈體沖擊實驗數據擬合得到，常用的針對混凝土靶體的有BRL公式、ACE公式和修正的NDRC公式等［1］，針對巖石靶體的有Young公式、Bernard公式和修正的別列贊（BLZ）公式等［2］。半經驗半理論侵徹深度計算的研究中，M.J.Forrestal和D.J.Frew等基于空腔膨脹理論估算彈體侵徹靶體的阻力，進而提出了彈體侵徹深度計算公式Ⅰ［3－4］和Ⅱ［5－7］。X.W.Chen等［8］和 Q.M.Li等［9－10］基于兩階段侵徹模型，采用滑移線場理論得到了靶體開坑區的深度，引入了量綱一彈頭形狀函數和沖擊因子，基于對彈頭輪廓曲線方程的定義，進一步將Forrestal公式量綱一化，并能夠適用于任意彈頭形狀。L.X.Qian等［11］引入靶體阻力系數和靶體強度參數，針對截卵形彈頭的侵徹問題進行了半理論研究，但上述參數需要大量實驗確定，并且只適用于截斷部分長度小于彈身長度1／3的情況。A.T.Jan等［12］通過改進彈體阻力計算公式，將Forrestal侵徹模型推廣到平頭彈的情況，并且不用再引入經驗參數。H.M.Wen［13］認為彈體侵徹過程中所受到的靶體阻力由靶體材料彈塑性變形產生的準靜態壓力和彈體速度效應引起的動壓力兩部分組成，引入了與靶體材料壓力相關的剪切強度，提出了巖石靶體的彈體侵徹深度計算公式。王明洋等［14］利用波陣面上的動量守恒關系和彈體表面的連續運動規律，得到了巖體對彈體的侵徹阻抗，進而得到了彈體侵徹巖石靶體的侵徹深度計算公式及其參數的確定方法。沈俊等［15］通過量綱分析，對大量巖石靶體的侵徹實驗數據進行擬合，建立了巖石靶體侵徹深度計算公式。

已有的研究大多針對卵形彈和混凝土靶體，對異型彈沖擊混凝土和巖石靶體的侵徹問題研究較少，對侵徹過程中彈靶間摩擦阻力影響的研究還不深入。本文中，認為巖石靶體侵徹深度的工程計算可以采用混凝土靶體的類似分析方法，基于混凝土材料的動力球型空腔膨脹理論和“沖擊成坑＋鉆孔區”兩階段侵徹模型，以截卵形彈頭彈體為例，利用曲面積分的方法，得到能夠綜合考慮彈靶摩擦阻力、成坑區深度和彈頭形狀等參數影響的混凝土和巖石靶體垂直侵徹深度的計算公式。

1 侵徹深度計算

以截卵形彈頭彈體為例，如圖1所示。其中彈身直徑為d，截斷部分直徑為d1，卵形彈頭總長度為l，截斷部分長度為l1，彈頭的曲率半徑為s，x為彈體位移，箭頭所指方向為彈體運動方向，θ為彈體運動方向與彈頭圓弧法線方向的夾角，v0為彈體的初始沖擊速度。

圖1 截卵形彈頭示意圖Fig.1 Sketch map of truncated－ogive nose projectile

許多混凝土和巖石靶體侵徹實驗表明，靶體的破壞形態為一個近似倒錐形的沖擊坑和一個直徑近似等于彈體直徑的鉆孔區組成。本文中采用“沖擊成坑＋鉆孔區”兩階段侵徹模型，如圖2所示，其中沖擊坑深度為Hc，彈體侵徹深度為Hp。文獻［3－4］表明，靶體開坑區深度與彈體直徑成正比，可表示為Hc＝kd，其中k為開坑區深度系數。對于卵形彈，M.J.Forrestal等［16］基于實驗，得出k＝2，Q.M.Li等［9］基于滑移線理論，得出k＝0.707＋l／d。對于截卵形彈頭，則有k＝0.707＋（l－l1）／d。

圖2 兩階段侵徹模型Fig.2 Two－stage penetration model

當Hp≤Hc時，彈體侵徹只形成開坑區，基于已有實驗對彈體過載特性的測量，開坑區彈體所受阻力Fcr與彈體侵徹深度x成線性關系。對于典型的截卵形彈頭，可表示為［11］

式中：c為阻力系數。由式（1）得出彈體在開坑區的運動方程為

式中：M 為彈體質量。初始條件為：x（0）＝0，x′（0）＝v0，求解上述微分方程可以得到侵徹深度

積分式（2）得到開坑區彈體的位移、速度和加速度表達式

式中：ω2＝c／M，0≤x≤kd。

當Hp＞Hc時，彈體侵徹過程形成開坑區和坑下的鉆孔區，其中開坑區深度滿足Hc＝kd。在鉆孔區，由動力球型空腔膨脹理論，得到彈體侵徹混凝土靶體過程中彈體頭部空腔法向膨脹壓縮應力σn與法向膨脹速度vr的關系式［16］，本文中認為對于巖石靶體同樣滿足

式中：S為靶體的強度參數，fc為靶體的抗壓強度，ρ為靶體密度。S基于大量不同強度靶體侵徹實驗數據回歸得到，文獻［3－4］中提出S＝82.6（10－6fc）－0.544，文獻［9］中提出S＝72（10－6fc）－0.5，而兩式在fc≥15MPa時基本相等，因此本文中取S＝82.6（10－6fc）－0.544。

侵徹過程（見圖1）中，彈體頭部空腔的法向膨脹速度vr與彈體即時侵徹速度v滿足vr＝vcosθ，彈體所受靶體的切向應力στ與法向應力σn滿足στ＝μmσn，其中μm為彈體和靶體間的滑動摩擦系數，一般取值范圍為0～0.2［8，17－18］。

彈頭截斷部分和卵形部分在侵徹過程中受到的沿彈體運動方向的阻力分別為

式中：Σ 為彈頭卵形部分側面積。對于一般彈體構造，有θ0＝arccos（（l－l1）／s）和θ1＝π／2。由式（6）得到鉆孔區彈體所受到的阻力為

式中：G1和G2為表征彈頭形狀和彈靶摩擦效應的量綱一系數。定義彈頭形狀量綱一參數Φ＝s／d，ζ1＝l／d，ζ2＝l1／d，ζ3＝d1／d，由式（6）～（7），對于（截）卵形（包括半球形、平頭形）彈有

對于（截）錐（包括平頭形）形彈有

對于卵形彈和錐形彈，式（8）中取ζ2＝ζ3＝0；對于截卵（錐）形彈，式（8）中取ζ3＝d1／d；對于半球形彈，式（8a）中取ζ2＝ζ3＝0，ζ1＝Φ＝0.5；對于平頭彈，有ζ1＝ζ2，ζ3＝1，式（8a）和（8b）形式相同。

設沖擊成坑區結束時刻為t1，彈體的速度為v1，由式（4）和（7）得出開坑區結束時刻（t＝t1，v＝v1，x＝kd）兩階段彈體位移、速度和力的平衡條件為

由上式可求得

引入質量比λ＝M／（ρd3），沖擊因子I＝Mv2／（d3fc），結合式（3）和（10）得到，當 Hp／d≤k時

由式（7）得出鉆孔區彈體的運動方程，并積分得到，當Hp／d＞k時

如果不考慮開坑區，即k＝0，則由上式得到

對于中低速碰撞（v0＜900m／s），當ζ3≠1（非平頭彈）時，有I0G2／（G1Sλ）?1，可將式（12）簡化為

還有，當μm＝0且ζ3≠1時，有I0G2／（G1Sλ）?1并且G1≈0.25，則式（13）可進一步簡化為

比較式（11）～（14）和已有應用較廣的幾個半理論公式可以得出：

（1）ForrestalⅠ公式［3－4］、Chen和 Li公式［8－10］和 Wen公式［13］中與本文公式中均考慮了開坑區深度，ForrestalⅠ公式、Chen和Li公式和 Wen公式中分別有k＝2、k＝0.707＋（ζ1－ζ2）和k＝ζ1。

（2）ForrestalⅡ公式［5－7］和 Wen公式［13］雖然精度較高，但公式中反映靶體強度的參數R 和Y 必須通過實際的實驗侵徹深度反推得到，因此缺乏對侵徹深度的預測能力，本文中不作討論。

（3）ForrestalⅠ公式［3－4］中僅考慮了卵形彈，并且沒有考慮彈靶之間的摩擦力。當取ζ2＝ζ3＝0、k＝2和μm＝0時，式（11）退化為ForrestalⅠ公式。Chen和Li公式［8－10］可以考慮多種彈頭形狀，當μm＝0且k＝0.707＋（ζ1－ζ2）時，式（11）分別取ζ2＝ζ3＝0、ζ2＝ζ3＝0和Φ＝ζ1、ζ1＝ζ2＝0和ζ3＝1時，和Chen和Li公式卵形彈、錐形彈、平頭彈計算公式形式相同。

（4）從式（13）～（14）可以看出，非平頭彈體的量綱一侵徹深度與沖擊因子近似成系數為1／（2πSG1）的線性關系。當不考慮彈靶摩擦阻力時，上述線性系數簡化為2／（πS）。對于平頭彈（ζ3＝1），IG2／（G1Sλ）?1不滿足，式（13）～（14）不成立，這點在已有研究中沒有討論過。

圖3分別給出了基于表1中實驗3，得到的量綱一侵徹深度隨ζ3和Φ的變化曲線，為方便計算中取μm＝0和k＝0。由圖可見，侵徹深度隨Φ的增大而增大，隨ζ3的增大而減小。因此采用卵（錐）形彈頭并增加Φ，是提高彈體侵徹能力的有效途徑。

圖3 ζ3和Φ對侵徹深度的影響曲線Fig.3 Penetration depth curves for differentζ3andΦ

2 與實驗結果比較

表1為8組混凝土和巖石靶體侵徹實驗參數。用式（11）及已有10個（半）經驗公式的彈體侵徹深度與相應實驗結果進行比較，圖4～5給出了表1中對應的混凝土和巖石靶體的侵徹深度。

由圖4可見，對于混凝土靶體而言：

（1）彈體的量綱一侵徹深度隨彈靶摩擦系數μm的增大而顯著減小，并且μm對侵徹深度的影響隨彈體沖擊速度的增大而顯著增大。當μm＝0時，計算結果與實驗數據吻合最好，因此對于非平頭彈，可以采用簡化式（14）進行計算。

表1 侵徹實驗的相關參數Table 1 Parameters in projectile penetration experiments

（2）對于不同彈頭形狀彈體而言，量綱一侵徹深度隨著開坑區深度系數k的增大而增加，并且隨著彈頭截斷部分的不斷增大，k對侵徹深度的影響也越來越大。通過對比得出，當ζ3≠1時，建議當鉆孔區深度大于開坑區深度的2倍時，即初始沖擊因子最小值滿足I0，min≥2πSG1k2／（k＋ζ2）時，可不考慮開坑區深度，采用式（12）計算，如實驗1～3；否則，采用式（11）計算，取k＝0.707＋（ζ1－ζ2）；當ζ3＝1時，取k＝0.707，如實驗4。

（3）圖4（c）～（d）中，取μm＝0和k＝0.707＋（l－l1）／d 時，式（11）的計算結果和Chen和Li公式計算結果的誤差，在于靶體強度參數S不同。

（4）式（11）的計算結果優于常用的三個經驗公式計算結果。經驗公式中，BRL公式和ACE公式分別用于卵形彈和異形彈計算時的精度最高。

圖4 混凝土靶體侵徹深度Fig.4 Penetration depth curves for concrete target

對于卵形彈，實驗5～6和8滿足I0≥2πSG1k2／（k＋ζ2），計算中采用式（12）。實驗7滿足I0＜2πSG1k2／（k＋ζ2），計算中采用式（11）。由圖5可見，對于巖石靶體而言：

（1）普通和高強巖石靶體的侵徹問題同樣可以用混凝土靶體侵徹分析方法進行研究。

（2）和混凝土靶體相同，彈體侵徹巖石靶體的量綱一侵徹深度隨彈靶摩擦系數μm的增大而顯著減小，并且μm對侵徹深度的影響隨彈體沖擊速度的增大而顯著增大。對于巖石靶體時，需考慮彈靶間的摩擦阻力。對于普通和高強巖石靶體，當μm分別取0.05和0.1時，計算結果與實驗數據吻合最好。

（3）巖石靶體的侵徹深度計算中，成坑區系數的取值可參照混凝土靶體。

（4）式（11）的計算結果優于（半）經驗公式計算結果。經驗公式中，Bernard公式預測精度最高。

圖5 巖石靶體侵徹深度Fig.5 Penetration depth curves for rock target

3 結 論

基于動力球型空腔膨脹理論和“沖擊成坑＋鉆孔區”兩階段侵徹模型，以截卵形彈頭彈體為例，利用曲面積分方法，得到了能夠綜合考慮彈靶摩擦阻力、成坑區深度和彈頭形狀等參數影響的混凝土和巖石靶體侵徹深度的計算公式。

（1）本文公式在相關參數取特殊值時退化為經典的ForrestalⅠ公式［3－4］。與8組不同彈頭形狀彈體侵徹混凝土和巖石靶體的實驗數據、10個（半）經驗公式的計算結果對比，驗證了本文公式的適用性。

（2）對于混凝土靶體，建議彈靶摩擦系數取0，非平頭彈體中低速侵徹混凝土靶體的量綱一侵徹深度與沖擊因子近似成系數為2／（πS）的線性關系；對于普通和高強巖石靶體，建議彈靶摩擦系數分別取0.05和0.1，非平頭彈體中低速侵徹巖石靶體的量綱一侵徹深度與沖擊因子近似成系數為1／（2πSG1）的線性關系。

（3）對于混凝土和巖石靶體侵徹深度的計算，當ζ3≠1且I0，min≥2πSG1k2／（k＋ζ2）時，可不考慮開坑區深度，采用式（12）計算；否則，采用式（11）計算，取k＝0.707＋（ζ1－ζ2）；當ζ3＝1時，取k＝0.707。

（4）經驗公式中，BRL公式、ACE公式和Bernard公式分別用于混凝土和巖石靶體侵徹深度計算時的預測精度最高。

（5）受已有實驗限制，僅針對普通混凝土靶體的（截）卵形和平頭彈以及巖石靶體的卵形彈侵徹深度問題進行了探討。式（11）對于如高強混凝土靶體的侵徹問題以及平頭彈侵徹巖石靶體等工況中侵徹深度的預測能力，有待進一步的實驗驗證。另外，對于彈靶摩擦系數的取值范圍0～0.2，只是一種工程方法，對于彈靶摩擦機理以及與彈體即時速度相關的摩擦系數的取值也是進一步工作的重點。

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